Problema scomposizione trinomio
Ho questo trinomio di quarto grado:
$x^4+x^2+2$.
Tra le varie tecniche di scomposizione non sono riuscito a trovarne una valida tranne ruffini. Però il libro indica che non và eseguito con ruffini. Quindi non sò che strada prendere. Potreste aiutarmi per favore?
$x^4+x^2+2$.
Tra le varie tecniche di scomposizione non sono riuscito a trovarne una valida tranne ruffini. Però il libro indica che non và eseguito con ruffini. Quindi non sò che strada prendere. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
Ehilà, oleg, ben ritrovato 
Il polinomio non è scomponibile nel campo reale, né con né senza Ruffini. Non sparare................
Sei sicuro di avere postato il testo correttamente? Non penso che possa scomporlo nel campo dei numeri immaginari. Scommettiamo che il termine noto vale $-2$?
Il polinomio non è scomponibile nel campo reale, né con né senza Ruffini. Non sparare................
Sei sicuro di avere postato il testo correttamente? Non penso che possa scomporlo nel campo dei numeri immaginari. Scommettiamo che il termine noto vale $-2$?
In realtà ho sbagliato io battendo al pc.
L'equazione è: $x^4+x^2+1$
Questa è scomponibile nei reali?
L'equazione è: $x^4+x^2+1$
Questa è scomponibile nei reali?
Non è scomponibile in fattori di primo grado, solo in fattori di secondo tramite le differenze di quadrati, infatti il polinomio è una differenza di quadrati:
$ x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1) -x^2= (x^2+1)^2 -x^2= (x^2+1+x)(x^2+1-x)$
$ x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1) -x^2= (x^2+1)^2 -x^2= (x^2+1+x)(x^2+1-x)$
Grazie mille per l'aiuto. AL liceo non abbiamo mai avuto questo tipo di esericizio anche se era presente nel libro senza alcun esempio. Come si fà a capire quando un polinomio è una differenza di quadrati quando si trova nella forma da me presentata senza il $-x^2$
Devi controllare se ricostruendo il quadrato formato dal termine di grado massimo e dal termine noto, quello che ti rimane fuori è l'opposto di un quadrato. I possibili esempi non sono tanti.
$x^4 +3x^2+4$
$4x^4 +3x^2+1$
$x^4 +2x^2+9$
$x^4 +3x^2+4$
$4x^4 +3x^2+1$
$x^4 +2x^2+9$
grazie mille
"teorema55":
... Il polinomio non è scomponibile nel campo reale, né con né senza Ruffini. ...
Non è esatto ... è vero che non ha soluzioni in campo reale ma ivi è scomponibile ... in campo reale sono irriducibili solo i polinomi di primo grado e quelli di secondo con discriminante negativo ...
Il polinomio $x^4+x^2+2$ si scompone così $(x^2+x*1.35219...+sqrt(2))*(x^2-x*1.35219...+sqrt(2))$ ...
Cordialmente, Alex
A quanto vedo esistono tecniche di scomposizione al di fuori di quelle scolastiche. Potreste consigliarmi un testo o un sito nel quale vedere tutti i tipi di scomposizioni soprattutto quelli non insegnati a scuola.
"@melia":
$ x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1) -x^2= (x^2+1)^2 -x^2= (x^2+1+x)(x^2+1-x)$
Brillante, sei molto brava. Anche Alex. Oggi ho imparato una cosa nuova, forse mi sono lasciato fuorviare prendendo in considerazione solo la scomposizione nel prodotto di 2 binomi................anzi no, ho toppato e basta.
E vi chiedo gentilmente qualche precisazione in più, perché io vedo che il trinomio pari ha $\Delta<0$ e pianto lì...............@melia, vedo che hai sommato e sottratto $x^2$ per ottenere il quadrato di un binomio meno un altro quadrato. Alex invece?
Il punto di partenza è questo
quindi $x^4+x^2+2$ deve essere scomponibile in fattori con coefficienti reali.
Quanto detto non implica che tali scomposizioni siano anche "belle" e/o ricavabili con tecniche ingegnose come fatto da @melia; in tal caso bisogna mettersi a fare i conti ... ... e passare dai complessi per giungere ai reali ... 
Dato che si prestava ho prima risolto questo $t^2+t+2=0$ con le due soluzioni $-1/2+-sqrt(7)/2i$ e da qui ho iniziato un viavai (
) tra forme algebriche e forme trigonometriche per giungere alle quattro soluzioni finali (complesse).
Ora, il teorema fondamentale dell'algebra garantisce che le soluzioni complesse si presentano sempre in coppie coniugate (in questo caso due) ma dato che $(x-z)(x-\barz)=(x^2-(z+\barz)x+z\barz)$ allora il prodotto di due soluzioni coniugate è un trinomio di secondo grado a coefficienti reali; fatte tutte le moltiplicazioni, ecco il risultato ... insomma, una fatica ...
...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
... in campo reale sono irriducibili solo i polinomi di primo grado e quelli di secondo con discriminante negativo ...
quindi $x^4+x^2+2$ deve essere scomponibile in fattori con coefficienti reali.
Quanto detto non implica che tali scomposizioni siano anche "belle" e/o ricavabili con tecniche ingegnose come fatto da @melia; in tal caso bisogna mettersi a fare i conti ...
... e passare dai complessi per giungere ai reali ... Dato che si prestava ho prima risolto questo $t^2+t+2=0$ con le due soluzioni $-1/2+-sqrt(7)/2i$ e da qui ho iniziato un viavai (
) tra forme algebriche e forme trigonometriche per giungere alle quattro soluzioni finali (complesse).Ora, il teorema fondamentale dell'algebra garantisce che le soluzioni complesse si presentano sempre in coppie coniugate (in questo caso due) ma dato che $(x-z)(x-\barz)=(x^2-(z+\barz)x+z\barz)$ allora il prodotto di due soluzioni coniugate è un trinomio di secondo grado a coefficienti reali; fatte tutte le moltiplicazioni, ecco il risultato ... insomma, una fatica ...
... Cordialmente, Alex
Chiaro Alex, grazie, davvero.
Ma anche con lo stesso procedimento proposto in precedenza:
$ x^4+x^2+2 =x^4+2sqrt2 x^2+2 +x^2-2sqrt2 x^2=(x^2+sqrt2)^2-(sqrt(2sqrt2-1))^2x^2=$
$= (x^2+sqrt2+xsqrt(2sqrt2-1))(x^2+sqrt2-xsqrt(2sqrt2-1))$
$ x^4+x^2+2 =x^4+2sqrt2 x^2+2 +x^2-2sqrt2 x^2=(x^2+sqrt2)^2-(sqrt(2sqrt2-1))^2x^2=$
$= (x^2+sqrt2+xsqrt(2sqrt2-1))(x^2+sqrt2-xsqrt(2sqrt2-1))$
Potreste darmi un consiglio su dove trovare queste spiegazioni sui casi particolari dove vengono descritte le varie manipolazioni algebriche?
Le possibili manipolazioni algebriche sono 2, il trinomio di quarto grado può essere pensato come un'equazione biquadratica.
Se $Delta <0$ la manipolazione è sempre la stessa, quella che ti ho già consigliato.
Ad esempio
$ x^4+x^2+2 $ prendi il termine di grado massimo $x^4$ e il termine noto $2$, se questi sono i quadrati, il doppio prodotto è $2x^2sqrt2$, aggiungilo e toglilo
$x^4+2sqrt2 x^2+2 +x^2-2sqrt2 x^2$ i primi tre termini formano un quadrato di binomio $(x^2+sqrt2)^2$, gli altri due
$x^2-2sqrt2 x^2$ devono formare l'opposto di un quadrato:
$-(2sqrt2 -1)x^2= -(sqrt(2sqrt2 -1))^2x^2= -(xsqrt(2sqrt2 -1))^2$
Adesso hai bell'e pronta la differenza di quadrati
$(x^2+sqrt2)^2-(sqrt(2sqrt2-1))^2x^2= (x^2+sqrt2+xsqrt(2sqrt2-1))(x^2+sqrt2-xsqrt(2sqrt2-1)) $
Se il $Delta>0$ il procedimento non richiede particolare manipolazione, dopo aver posto $x^2=t$ trovi $t_1$ e $t_2$ e scomponi $ax^4+bx^2+c=a(x^2-t_1)(x^2-t_2)$ poi vedi se è possibile ulteriore scomposizione.
Veramente il $Delta$ potrebbe essere nullo, ma allora hai di fronte un quadrato e non servono manipolazioni, al massimo a volte conviene o è necessario raccogliere il coefficiente del termine di grado massimo.
Se $Delta <0$ la manipolazione è sempre la stessa, quella che ti ho già consigliato.
Ad esempio
$ x^4+x^2+2 $ prendi il termine di grado massimo $x^4$ e il termine noto $2$, se questi sono i quadrati, il doppio prodotto è $2x^2sqrt2$, aggiungilo e toglilo
$x^4+2sqrt2 x^2+2 +x^2-2sqrt2 x^2$ i primi tre termini formano un quadrato di binomio $(x^2+sqrt2)^2$, gli altri due
$x^2-2sqrt2 x^2$ devono formare l'opposto di un quadrato:
$-(2sqrt2 -1)x^2= -(sqrt(2sqrt2 -1))^2x^2= -(xsqrt(2sqrt2 -1))^2$
Adesso hai bell'e pronta la differenza di quadrati
$(x^2+sqrt2)^2-(sqrt(2sqrt2-1))^2x^2= (x^2+sqrt2+xsqrt(2sqrt2-1))(x^2+sqrt2-xsqrt(2sqrt2-1)) $
Se il $Delta>0$ il procedimento non richiede particolare manipolazione, dopo aver posto $x^2=t$ trovi $t_1$ e $t_2$ e scomponi $ax^4+bx^2+c=a(x^2-t_1)(x^2-t_2)$ poi vedi se è possibile ulteriore scomposizione.
Veramente il $Delta$ potrebbe essere nullo, ma allora hai di fronte un quadrato e non servono manipolazioni, al massimo a volte conviene o è necessario raccogliere il coefficiente del termine di grado massimo.
Grazie mille
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