Problema Rettangoli Inscritti ad una Ellisse
Ciao a tutti, scrivo tutto il testo del problema perchè magari può servire:
"scrivi l'equazione di una ellisse con il centro nell'origine e i fuochi sull'asse $y$, sapendo che il quadrato inscritto ha il perimetro uguale a 24 e che l'asse maggiore misura 12:Calcola poi il perimetro dei rettangoli inscritti nell'ellisse che hanno area uguale a $16sqrt(6)$.
Allora in breve, sappiamo che :
$b>a$
$2b=12$
lato del quadrato = $24/4=6$
Quindi per disegnarlo, il quadrato avrà i vertici in $A=(3,3) B=(-3,3) C=(-3,-3) D=(3,-3)$
A questo punto basta imporre l'ellisse passante per uno di questi punti con $b^2=36$
Viene: $9/a^2+9/36=1$ >>>>> $a^2=12$
Bene ora abbiamo l'equazione dell'ellisse: $x^2/12+y^2/36=1$
Ma ora devo calcolare il perimetro dei rettangoli inscritti nell'ellisse che hanno area uguale a $16sqrt(6)$
Dunque io so che $16sqrt(6)=bh$
Purtroppo io non so come arrivare nè alla base, nè all'altezza
Aiutino per favore
"scrivi l'equazione di una ellisse con il centro nell'origine e i fuochi sull'asse $y$, sapendo che il quadrato inscritto ha il perimetro uguale a 24 e che l'asse maggiore misura 12:Calcola poi il perimetro dei rettangoli inscritti nell'ellisse che hanno area uguale a $16sqrt(6)$.
Allora in breve, sappiamo che :
$b>a$
$2b=12$
lato del quadrato = $24/4=6$
Quindi per disegnarlo, il quadrato avrà i vertici in $A=(3,3) B=(-3,3) C=(-3,-3) D=(3,-3)$
A questo punto basta imporre l'ellisse passante per uno di questi punti con $b^2=36$
Viene: $9/a^2+9/36=1$ >>>>> $a^2=12$
Bene ora abbiamo l'equazione dell'ellisse: $x^2/12+y^2/36=1$
Ma ora devo calcolare il perimetro dei rettangoli inscritti nell'ellisse che hanno area uguale a $16sqrt(6)$
Dunque io so che $16sqrt(6)=bh$
Purtroppo io non so come arrivare nè alla base, nè all'altezza

Aiutino per favore

Risposte
Devi trovare quel punto che ha coordinate $(x,y)$ , $x,y>0$ che soddisfa entrambe le seguenti equazioni:
$x^2/12 + y^2/36=1$
$xy=4sqrt(6)$
$x$ e $y$ sono rispettivamente la metà della base e la metà dell'altezza del rettangolo inscritto... ok?
Ovviamente ti verranno 2 soluzioni
$x^2/12 + y^2/36=1$
$xy=4sqrt(6)$
$x$ e $y$ sono rispettivamente la metà della base e la metà dell'altezza del rettangolo inscritto... ok?
Ovviamente ti verranno 2 soluzioni
fatto grazie mille, dopo posto la soluzione con i passaggi; magari servirà a qualcuno
Bene, ecco la soluzione con i passaggi:
Come ha suggerito l'amico Gi8 bisogna trovare il punto che appartiene all'ellisse (perchè il quadrilatero è inscritto), ma a condizione che il prodotto delle sue coordinate dia $1/4$ dell'area totale del Parallelogramma.
${ (x^2/12+y^2/36=1) , (xy=4sqrt(6)) :}$ $ { (x^2=(36-y^2)/3) , (xy=4sqrt(6)) :}$ ${ (x=sqrt((36-y^2)/3)) , ((sqrt((36-y^2)/3)y)^2=(4sqrt(6))^2):}$ ${ (//), (y^4-36y^2+288=0):}$ pongo $y^2=Gamma$ ${(//),(Gamma^2-36Gamma+288=0):}$ i due valori di $Gamma$ sono: $24$ e $12$
Dunque:
${(x=sqrt((36-y^2)/3)),(y^2=24):}$ ${(x=2), (y^2=24):}$ e ${(x=sqrt((36-y^2)/3)),(y^2=12):}$ ${(x=2sqrt(2)), (y^2=12):}$
Il primo rettangolo avrà un vertice nel punto $A(2,sqrt(24))$ perciò siccome sappiamo che l'ellisse ha centro $0(0,0)$ le coordinate del punto rappresentano la base e l'altezza di $1/4$ del rettangolo inscritto, perciò il perimetro $L=8+4sqrt(24)$
Per il secondo rettangolo vale lo stesso discorso: $A[size=75]$1$[/size]$=(2sqrt(2),sqrt(12))$ perciò il perimetro $L[size=75]$1$[/size]$=8sqrt(2)+4sqrt(12)$
Grazie mille ancora
Come ha suggerito l'amico Gi8 bisogna trovare il punto che appartiene all'ellisse (perchè il quadrilatero è inscritto), ma a condizione che il prodotto delle sue coordinate dia $1/4$ dell'area totale del Parallelogramma.
${ (x^2/12+y^2/36=1) , (xy=4sqrt(6)) :}$ $ { (x^2=(36-y^2)/3) , (xy=4sqrt(6)) :}$ ${ (x=sqrt((36-y^2)/3)) , ((sqrt((36-y^2)/3)y)^2=(4sqrt(6))^2):}$ ${ (//), (y^4-36y^2+288=0):}$ pongo $y^2=Gamma$ ${(//),(Gamma^2-36Gamma+288=0):}$ i due valori di $Gamma$ sono: $24$ e $12$
Dunque:
${(x=sqrt((36-y^2)/3)),(y^2=24):}$ ${(x=2), (y^2=24):}$ e ${(x=sqrt((36-y^2)/3)),(y^2=12):}$ ${(x=2sqrt(2)), (y^2=12):}$
Il primo rettangolo avrà un vertice nel punto $A(2,sqrt(24))$ perciò siccome sappiamo che l'ellisse ha centro $0(0,0)$ le coordinate del punto rappresentano la base e l'altezza di $1/4$ del rettangolo inscritto, perciò il perimetro $L=8+4sqrt(24)$
Per il secondo rettangolo vale lo stesso discorso: $A[size=75]$1$[/size]$=(2sqrt(2),sqrt(12))$ perciò il perimetro $L[size=75]$1$[/size]$=8sqrt(2)+4sqrt(12)$
Grazie mille ancora
