Problema retta sul piano cartesiano

[valenta93]

ciao a tutti. tra i vari esercizi su questo argomento, uno non riesco a risolverlo. volevo chiedervi una mano per svolgerlo, una sorta di guida perchè non so proprio come venirne a capo.

Date le rette di equazione 2x+(k-1)y-3=0 e 3x-(k-2)y+1=0, k appartenente ad R, determinare k in modo che i triangolo che ciascuna di esse forma con gli assi cartesiani siano equivalenti.

soluzione [k=52/25 ; k=56/29]

Grazie mille in anticipo

[BIT5]

Io lo risolverei cosi'

I punti (generici) di intersezione con gli assi del primo fascio sono:

[math] x=0 \to y= \frac{3}{k-1} [/math]

e

[math] y=0 \to x= \frac32 [/math]

e per quanto riguarda il secondo fascio

[math] x=0 \to y= \frac{1}{k-2} [/math]

e

[math] y=0 \to x= - \frac13 [/math]

In entrambi i casi, tra l'altro, dal momento che entrambi i fasci hanno un punto fisso (che abbiamo trovato per caso, in verita', e che corrisponde a y=0), ovvero che non dipende da k, abbiamo trovato i centri del fascio.

Comunque sia, i triangoli sono entrambi retti in O pertanto l'area dei due triangoli sara' il prodotto dei cateti (ovvero di ascissa e ordinata) fratto 2 (il tutto in valore assoluto, perche' ricordiamo che dovremo prendere il prodotto delle coordinate ma sempre positivo (parliamo di Aree))

Per risolvere il problema, dunque, porremo le Aree uguali.

[math] | \frac{ \frac{3}{k-1} \frac32}{2}| = | \frac{ \frac{1}{k-2}(- \frac13)}{2}| [/math]

E quindi

[math] | \frac{9}{2(k-1)} |= |- \frac{1}{3(k-2)}| [/math]

[math] |27k-54| = |-2k+2| [/math]

(con

[math] k \ne 1 \ \ e \ \ k \ne 2 [/math]

e dunque

[math] 27k-54= \pm (-2k+2) [/math]

[math]29k=56 \to k= \frac{56}{29} [/math]

[math] 27k-54=2k-2 \to 25k=52 \to k= \frac{52}{25} [/math]

.

[valenta93]

grazie mille...non ci avevo proprio pensato :) comunque ho capito...
buona serata

[BIT5]

perfetto..

chiudo.