Problema retta circonferenza

[piastrino]

non ho capito come fare questo esercizio di matematica
Verifica che il punto P è esterno alla circonferenza di cui è data l'equazione e determina le equazione delle rette tangenti alla circonferenza passanti per P
P (1;2) circonferenza x^2+y^2-2x+y
soluzioni: y=2x; y=4-2x
Per fare questo esercizio la prof richiede il metodo geometrico
Grazie per l'aiuto

[gabri030303]

le rette tangenti alla circonferenza hanno equazione generica y=mx+q
ma tu sai che queste due rette passano per il punto p(1;2)
quindi devi applicare la formula dell'equazione di un fascio proprio di rette con centro nel punto P

[math]
y-Y_{P}=m(x-x_{P})
[/math]

y-2=m(x-1)
questa equazione comprende anche le due rette tangenti alla circonferenza data e per trovarle devi fare un sistema tra l'equazione della circonferenza data e quella del fascio; nel risolverlo devi imporre il delta uguale a zero

Aggiunto 17 minuti più tardi:

[math]
x^2+y^2-2x+y=0
[/math]

[math]
y-2=m(x-1)
[/math]

da questa seconda equazione ricavo

[math]
y=mx-m+2
[/math]

e la sostituisco nell'equazione della circonferenza

[math]
x^2+m^2x^2+m^2+4-2m^2x-4m+4mx-2x+mx-m+2=0
[/math]

elimino gli opposti e rimane

[math]
x^2+m^2x^2-2m^2x+5mx-2x+m^2-5m+6=0
[/math]

raggruppo per ottenere un'equazione di secondo grado

[math]
(1+m^2)x^2+(-2m^2+5m-2)x+m^2-5m+6=0
[/math]

impongo delta=0

[math]
b^2-4ac=0
[/math]

[math]
(-2m^2+5m-2)^2-4(1+m^2)(m^2-5m+6)=0
[/math]

[math]
4m^4+25m^2+4+8m^2-20m-20m^3-4(m^2-5m+6+m^4-5m^3+6m^2)=0
[/math]

[math]
4m^4+25m^2+4+8m^2-20m-20m^3-4m^2+20m-24-4m^4+20m^3-24m^2=0
[/math]

elimino gli opposti e sommo i monomi simili ottenendo:

[math]
5m^2-20=0
[/math]

[math]
m^2=4
[/math]

quindi i due valori di m sono +2 e -2
li sostituisco nell'equazione del fascio e trovo le due rette tangenti alla circonferenza

[math]
y-2=2(x-1)
[/math]

[math]
y=2x-2+2
[/math]

quindi y=2x

[math]
y-2=-2(x-1)
[/math]

[math]
y=-2x+2+2
[/math]

Cioè y=-2x+4