Problema proporzioni

[cicciapallina]

Ciao a tutti!
Ho questo problema

In un condominio l’assemblea condominiale deve decidere quale modalità adottare per la suddivisione delle spese di riscaldamento. Le proposte sono le seguenti:
a) una quota fissa K uguale per tutti più una quota proporzionale alla superficie degli appartamenti.
b) una suddivisione proporzionale alla superficie degli appartamenti.
Nel condominio ci sono 2 monolocali da 40 mq, 4 appartamenti da 60 mq, 2 da 80 mq e 2 da 120.
Per ogni tipologia di appartamento trovare quale modalità è più conveniente.

Come impostare le proporzioni?

[axpgn]

Idee tue? Come hai ragionato finora?

[cicciapallina]

$ 720 $ è la superficie totale.
Se $ S $ è la somma totale da pagare, se la quota deve essere proporZionale alla superficie per l appartamento di $ 40 mq$ si dovrebbe pagare $ 40/720 S $

Questa è la quota del punto b)?

[axpgn]

Sì, generalizzando un attimo se la spesa totale è $S$, la spesa per ogni metro quadro sarà $S/720$ e quindi la generica spesa $S_n$ per un appartamento di $n$ metri quadri sarà $S_n=(nS)/720$.

E per il primo punto ? E il confronto ?

[cicciapallina]

Se $ q $ é la quota per mq la spesa sarà $ k + qn $?

[axpgn]

Cioè ? Non ho capito ... come sei arrivata a quella formula ? Dettaglia meglio ...

[cicciapallina]

$ k $ è la quota fissa e $ q $ è la quota da pagare al metro quadro.
Quindi per un appartamento di $ n $ mq la somma da pagare sarà $ k + qn $

[axpgn]

Cosa significa "$k$ è la quota fissa" ? In altre parole come la determini rispetto alla spesa totale e al singolo appartamento ? Lo stesso per $q$ ...
Inoltre devi usare la stessa notazione dell'altro problema dato che poi dovrai confrontarle ...

[cicciapallina]

Ora devo considerare il numero di appartamenti, giusto?
Però c è qualcosa che mi sfugge: la quota fissa $ k = S/10 $ dove 10 è il numero di appartamenti ?
Ma non sono convinta di questo

[axpgn]

Visto che è tardi ...

La nostra spesa da dividere è sempre $S$ però in questo caso abbiamo una quota $K$ da dividere in parti uguali tra gli appartamenti che sono $10$, perciò ciascuno pagherà $K/10$.
Tolta la quota fissa, resta da dividere $S-K$ e quindi la quota proporzionale per un appartamento di $n$ metri quadri sarà $S_n=(n(S-K))/720$. La quota totale quindi per ogni $S_n$ sarà $K/10+(n(S-K))/720$

Ora il confronto ...

Quando $S_(na)>S_(nb)$ ?
Risolviamo la disequazione ...
$S_(na)>S_(nb)\ =>\ (n(S-K))/720+K/10>(nS)/720\ =>\ (nS)/720-(nK)/720+K/10>(nS)/720\ =>\ -(nK)/720+K/10>0$ ovvero $K>(nK)/72\ =>\ 72K>nK\ =>\ 72>n$.

La conclusione è che la soluzione $a$ conviene agli appartamenti grandi mentre la $b$ a quelli piccoli (la discriminante è $72$ metri quadri)

Cordialmente, Alex

[cicciapallina]

Grazie! Io avevo capito che $ k $ era la quota fissa che ognuno doveva pagare, invece è la quota fissa totale da dividere.
Ora è chiaro.
Grazie