Problema probabilità

[anto_zoolander]

Come ogni autodidatta che si rispetti, si incontra un problema che nessuno ti dirà come affrontarlo e questo è il caso.

Si scelga un puto $P$ all'interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza $3$. Si determini la probabilità che la distanza di $P$ da ogni vertice sia maggiore di $1$

Io l'ho svolto nella seguente maniera.

dunque se considero che i punti che hanno $d>1$ sono tutti i punti esterni alle circonferenze di raggio uno costruite sui vertici, intersecate con la superficie del triangolo, ovvero. Considerando che la probabilità che un punto abbia distanza maggiore di $1$ e appartenga al triangolo, vuol dire che appartenga all'insieme dei punti interni al triangolo meno quelli delle 3 superfici(settori circolari) di raggio uno costruite sui vertici e interne al triangolo.

Dunque i casi possibili sono tutta la superficie, ovvero l'area del triangolo nonché

$A_t=1/2[3sin(pi/3)]*[3]=(9sqrt3)/4$

I casi favorevoli sono tutti e soli i punti appartenenti alla superficie del triangolo meno quella dei settori, ovvero

$A_t-3A_s=(9sqrt3)/4-3[1/2(pi/3)*1^2]=(9sqrt3)/4-pi/2$

dunque la probabilità sarà

$P=(A_t-3A_s)/A_t=1-(3A_s)/A_t=1-(pi/2)/((9sqrt3)/4)=1-(2pi)/(9sqrt3)$

ovvero $Papprox59,7%$ che è il risultato corretto. Ci sono altri modi per risolvere questo tipo di problemi?

[kobeilprofeta]

a freddo non me ne vengono altri

io e la maggiorparte della gente l'avremmo fatto cosí

[anto_zoolander]

grazie kobe

[kobeilprofeta]

Figurati

Se vuoi prova a sentire altri pareri

[mark971]

C'era una cosa simile ad un quesito di stato di qualche anno fa... Io lo ho fatto così. (Solo che non mi sono calcolato l'area del settore, ma direttamente quella di metà circonferenza).

[@melia]

È il quesito 6 dell'esame di maturità PNI del 2007
Qui a pagina 23 del pdf allegato
e, se preferisci la concorrenza, qui oppure qui a pag. 3-4
Tutti, comunque, lo risolvono allo stesso modo.

[anto_zoolander]

Perfetto grazie mille come sempre melia