Problema parabola e circonferenza.

[patatinabell]

Data la parabola di equazione y=x^2-2x+2, determina il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti nel suo punto d'ascissa 2.

[carlogiannini]

Sembrava più complicato di quanto non sia in realtà.
Le circonferenze tangenti alla parabola in un determinato punto sono necessariamente tangenti alla "tangente alla parabola".
Mamma mia, detto così è terribile. Proviamo così:
prendiamo una parabola e una circonferenza tangenti tra di loro. In mezzo a loro passa UNA SOLA retta che è tangente a entrambe. Ora provo a farti un disegno.
Comunque basta trovare la retta tangente alla parabola nel punto (2, 2).
Le circonferenze tangenti alla parabola sono tangenti anche a questa retta (tangente), quindi stanno necessariamente sulla retta perpendicolare alla retta tangente alla parabola.
Quindi, essendo la tangente alla parabola
y = 2x -2 (salvo errori, controlla i calcoli)
la retta perpendicolare a questa, passante per (2; 2) sarà:
y =

[math]-\frac{1}{2}x+3[/math]

[patatinabell]

Perche l'ordinata della retta tangente è 2?

[carlogiannini]

Per trovare la tangente alla parabola nel punto (2; 2)
A) se avete fatto le derivate, calcola la derivata prima e poi sostituisci "2" alla "x" e trovi immediatamente il coeff. angolare

[math]f(x)=x^2-2x+2\\f'(x)=2x-2\\f'(2)=2[/math]

.
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Questo è il coeff. ang. della tangente alla parabola e a TUTTE le circonferenze tangenti alla parabola.
B) se non avete fatto le derivate devi fare un sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione generica di una retta passante per (2; 2)

[math]y-y_0=m(x-x_0)\\y-2=m(x-2)\\y=mx-2m+2[/math]

.
.
Nella equazione risolvente (che contiene "m") basta porre

[math]\Delta=b^2-4ac=0[/math]

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per trovare
m=2
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Fammi sapere se sono stato chiaro .

[patatinabell]

chiarissimo, grazie.