Problema ottico di Galileo a Todi

[mariodic]

Nell’aprile 1624, nel corso di un viaggio da Firenze a Roma, Galileo si fermò a Todi per discutere di questioni di ottica degli specchi sferici con G.B. Guazzarini (§ Stillman Drake: “Galileo, una biografia scientifica” cap. XVI, ed. Il Mulino, 1988). Uno dei problemi era dimostrare al Guazzarini che i raggi luminosi che incidono lo specchio sferico non convergono in un solo punto dell’asse della calotta sferica, come si credeva, ma si distribuiscono lungo un tratto dello stesso asse. Non conoscono il procedimento di quella dimostrazione, sicuramente era geometrico, come lo erano tutte quelle di Galileo, oggi quella dimostrazione di ottica geometrica ha perduto ogni interesse speculativo. Va tuttavia considerato che Galileo non conosceva l’analisi matematica -non ancora inventata-, per cui sarebbe stato difficile, a quell’epoca, studiare l’aspetto distributivo della densità dei raggi luminosi riflessi sull’asse della calotta sferica in questione. Incuriosito dalle possibili estensioni del problema galileiano propongo qui lo sviluppo del problema della distribuzione sopra adombrato.

Sia dato il semicerchio piano di raggio unitario $AVD$ (in luogo, per semplicità, di una calotta semisferica) con centro in $O$ e vertice (centro della linea costituente la semicirconferenza) in $V$, sia la retta passante per $OV$ l’asse del semicerchio. Immaginiamo che l’interno del semicerchio sia colpito da raggi luminosi, con questo complanari, provenienti da distanza infinita e da tutte le direzioni, con densità uniforme. Sia $P$ un punto generico del semicerchio. Va subito notato che un raggio luminoso che colpisce il punto $P$ provenendo da una direzione qualsiasi, che forma l’angolo $\+-theta$ con l’asse $OV$, verrà riflesso secondo uno dei tre seguenti casi:

1) Il raggio riflesso esce definitivamente dal semicerchio tagliando l’asse $OV$ in un punto $\x_P(theta)$
2) Il raggio luminoso, dopo essere stato riflesso dal punto $P$, va a colpire successivamente uno o più altri punti della semicirconferenza prima di uscirvi definitivamente. Tale raggio potrebbe tagliare l’asse $OV$ una o più volte.
3) Il raggio, infine, nel caso particolare che il punto generico $P$ coincida col vertice $V$ e la direzione sia $\theta=0$, fuoriuscirà dal semicerchio senza “tagliare” l’asse $OV$.

Per il caso 2), allo scopo di semplificare il problema, saranno da considerare, ai fini della determinazione della funzione di densità, solo i “tagli” conseguenti alla prima riflessione del raggio incidente.
Si suggerisce di identificare il punto generico $p$ della semicirconferenza con l’angolo $\alfa$ formato dal raggio del cerchio $OP$ con l’asse $OV$.
Il problema consiste nella determinazione della funzione di distribuzaione (di densitè) dei punti di £taglio£ sull'asse $OV$.

[ninì2]

Ho provato ad impostare il problema posto da Mariodic (sperando di averlo ben compreso). Tenuto conto della descrizione e dei simboli suggeriti, da una facile analisi geometrica si evince facilmente che, indicando un punto generico $T_1$ sull'asse $OV$ col valore della sua distanza $x$ dall'origine $O$ (il senso positivo dell'asse va da $O$ veso il vertice del semicerchio $V$), allora:
$\x=cos alpha-sen alpha*cos theta$ (1)
tutte le combinazioni di $alpha$ e $theta$ che, nella suddetta funzione, mantengoni fisso $x$ definiscono l'insieme dei raggi che, dopo la prima riflessione, convergono in $T_1$, cioè in $x$. Questo vuol dire che la somma delle derivate parziali di $x$ rispetto alle variabili $alpha$ e $theta$ deve essere $0$, quindi, eseguendo le derivazioni parziali della (1) e uguagliando a $0$ si ha:
$-sen alpha -cos alpha*cos theta-sen alpha*sen theta=0$ (2)
risolvendo la (2) in $alpha$ e sostituendo nella (1) avremo, dopo qualche facile passaggio,
$x=1/2*sen theta*(1+sen theta)/((1-sen theta)) $ (3)
che è una funzione nella sola $theta$, che raccoglie tutti i raggi di inclinazione $theta$ che, riflettendosi nell semicerchio (specchio), colpiscono il punti $T_1$ di ordinata $x$. Ne segue che il flusso totale $Phi(x)$ che colpisce $x$ sarà
$\Phi(x)=1/2*int_(theta_1)^(theta_2) sen theta*(1+sen theta)/((1-sen theta)) d theta $(4).
A questo punto rimangono da stabilire i limiti di integrazione $theta_1$ e $theta_2$. Osservando la figura geometrica del problema si vede subito che $theta_1= arctg x$ e $\theta_2=pi/2-arctg x$, quindi la (4) può essere scritta così:
$\Phi(x)=1/2*int_(arctg x)^(pi/2-arctg x) sen theta*(1+sen theta)/((1-sen theta)) d theta $
Sarei grato a chi volesse criticare e correggere questa mia impostazione risolutiva.

[mariodic]

"ninì":Ho provato ad impostare il problema posto da Mariodic (sperando di averlo ben compreso). Tenuto conto della descrizione e dei simboli suggeriti, da una facile analisi geometrica si evince facilmente che, indicando un punto generico $T_1$ sull'asse $OV$ col valore della sua distanza $x$ dall'origine $O$ (il senso positivo dell'asse va da $O$ veso il vertice del semicerchio $V$), allora:
$\x=cos alpha-sen alpha*cos theta$ (1)

Per Ninì
Sono perplesso per l'equazione (1) sopra richiamata, dalla quale parti per l'elaborazione richiesta dal problema.
Ho provato a rivedere il problema pervenendo ad una equazione di partenza molto diversa da quella tua. Eccola: $x=(sen(alpha-theta))/cos(2 alpha-theta)$.
A parte l'equazione (1), mi pare corretto il seguito della tua procedura di elaborazione.
E' inutile che dica che l'equazione di partenza che ho trovato io potrebbe essere affetta da errori nei passaggi matematici, quantunque facili ed alla portata di chiunque abbia nozioni elementari di trigonometria piana.