Problema ortogonalità nello spazio
Salve a tutti ho un problema con l'esercizio seguente dove non riesco a impostare la retta che devo cercare in maniera che sia ortogonale, vi illustro il mio ragionamente visto che non sono riuscito ad capire dove vi sia una mancanza
I dati sono:
retta $ r $ = $ { ( x-2=0 ),( z+y-1=0 ):} $
piano $ alpha $ = $ x-y+z=0 $
Punto A=(1,0,1)
l'esercizio chiede
la retta passante $ s $ passante per $ A $, parallela ad $ alpha $ e ortogonale a $ r $
Procedo così:
So che la retta $ s $ è data dall'intersezione di due piani che non conosciamo chiamiamoli $ beta $ e $ gamma $
$ beta $ deve essere passante per A e parallelo ad $ alpha $
il piano $ beta $ risulta:
$ x-y+z-2=0 $
Messo su GeoGebra ed è giusto ad ogni modo per chi fosse curioso ho preso i parametri direttori di $ alpha $ (ossia [1,-1,+1]) e ho usato la forumula:
$ v_{x}(x-a)+v_{y}(x-b)+v_{z}(z-c)=0 $
Dove a,b,c sono i punti di $ A $ in quanto dobbiamo imporre il passaggio per quest'ultimo
Addesso il problema è trovare quel piano inerente alla 2 parte dell'esercizo, so che il piano è ortogonale, quindi 90 gradi ma non so come procedere, il mio professore dice di "impostare l'ortogonalità " ma non so proprio come procedere, ho pensato di ragionare usando i parametri direttori ossia dato che è ortogonale è necessario che:
$ v_{s}(l,m,n)* v_{r}(0,1,-1)=0 $
da cui:
$ m=n $
quindi ho pensato che necessariamente i parametri direttori di $ s $ siano del tipo = (0,1,1)
ho successivamente sostituito nella formula generica del piano imponendo il passaggio per A e ho ottenuto:
$ y+z-1=0 $
ma mettendo tutto su GeoGebra mi risulta sbagliato questo piano non passsa nemmeno per A
non so prorprio dove sbatterci la testa
I dati sono:
retta $ r $ = $ { ( x-2=0 ),( z+y-1=0 ):} $
piano $ alpha $ = $ x-y+z=0 $
Punto A=(1,0,1)
l'esercizio chiede
la retta passante $ s $ passante per $ A $, parallela ad $ alpha $ e ortogonale a $ r $
Procedo così:
So che la retta $ s $ è data dall'intersezione di due piani che non conosciamo chiamiamoli $ beta $ e $ gamma $
$ beta $ deve essere passante per A e parallelo ad $ alpha $
il piano $ beta $ risulta:
$ x-y+z-2=0 $
Messo su GeoGebra ed è giusto ad ogni modo per chi fosse curioso ho preso i parametri direttori di $ alpha $ (ossia [1,-1,+1]) e ho usato la forumula:
$ v_{x}(x-a)+v_{y}(x-b)+v_{z}(z-c)=0 $
Dove a,b,c sono i punti di $ A $ in quanto dobbiamo imporre il passaggio per quest'ultimo
Addesso il problema è trovare quel piano inerente alla 2 parte dell'esercizo, so che il piano è ortogonale, quindi 90 gradi ma non so come procedere, il mio professore dice di "impostare l'ortogonalità " ma non so proprio come procedere, ho pensato di ragionare usando i parametri direttori ossia dato che è ortogonale è necessario che:
$ v_{s}(l,m,n)* v_{r}(0,1,-1)=0 $
da cui:
$ m=n $
quindi ho pensato che necessariamente i parametri direttori di $ s $ siano del tipo = (0,1,1)
ho successivamente sostituito nella formula generica del piano imponendo il passaggio per A e ho ottenuto:
$ y+z-1=0 $
ma mettendo tutto su GeoGebra mi risulta sbagliato questo piano non passsa nemmeno per A
non so prorprio dove sbatterci la testa
Risposte
Secondo me devi ricontrollare l'inserimento del secondo piano su GeoGebra, perché il secondo piano è stato ottenuto con la condizione di passaggio per A, quindi per A ci passa eccome!!!
Se nel grafico ti risulta che non ci passi, ricontrolla i dati inseriti.
Se nel grafico ti risulta che non ci passi, ricontrolla i dati inseriti.
"@melia":
Secondo me devi ricontrollare l'inserimento del secondo piano su GeoGebra, perché il secondo piano è stato ottenuto con la condizione di passaggio per A, quindi per A ci passa eccome!!!
Se nel grafico ti risulta che non ci passi, ricontrolla i dati inseriti.
Salve prima di tutto grazie per aver risposto
ho inserito i dati di nuovo, su GeoGebra ed aveva ragione evidentemente avevo sbagliato, il punto adesso passa per A ma c'è un nuovo problema, ossia vedendo l'angolo esso non è di 90 gradi, ho caricato l'immagine per rendere meglio l'idea
Un modo semplice per risolverlo (ma non ho idea se al liceo abbiate le conoscenze) è trovare la direzione di r...che in questo caso è data (per esempio) dal vettore $vec(v)=(0,1,-1)$
Inoltre il piano $alpha$ contiene tutte le rette perpendicolari alla direzione $vec(w)=(1,-1,1)$
La retta s deve avere direzione perpendicolare ad r (quindi perpendicolare a $vec(v)$) e parallela ad $alpha$ (ovvero perpendicolare a $vec(w)$).
In $R^3$ esiste una sola direzione perpendicolare a due direzioni. Il prodotto vettoriale di due direzioni mi restituirà un vettore/direzione che sarà contemporaneamente perpendicolare ad esse. Ovvero $vec(s)=vec(v)xxvec(w)=(0,1,1)$
Quindi la retta con direzione $vec(s)$ e passante per il punto A (in forma parametrica) è data da:
$ s:{( ( x ),( y ),( z ) )=k( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) + ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Ovvero:
$ s:{ ( x=1 ),( y=k ),( z=k+1 ):} $
In equazioni cartesiane diventa:
$ s:{ ( x-1=0 ),( y-z+1=0 ):} $
Inoltre il piano $alpha$ contiene tutte le rette perpendicolari alla direzione $vec(w)=(1,-1,1)$
La retta s deve avere direzione perpendicolare ad r (quindi perpendicolare a $vec(v)$) e parallela ad $alpha$ (ovvero perpendicolare a $vec(w)$).
In $R^3$ esiste una sola direzione perpendicolare a due direzioni. Il prodotto vettoriale di due direzioni mi restituirà un vettore/direzione che sarà contemporaneamente perpendicolare ad esse. Ovvero $vec(s)=vec(v)xxvec(w)=(0,1,1)$
Quindi la retta con direzione $vec(s)$ e passante per il punto A (in forma parametrica) è data da:
$ s:{( ( x ),( y ),( z ) )=k( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) + ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Ovvero:
$ s:{ ( x=1 ),( y=k ),( z=k+1 ):} $
In equazioni cartesiane diventa:
$ s:{ ( x-1=0 ),( y-z+1=0 ):} $
"Bokonon":
Un modo semplice per risolverlo (ma non ho idea se al liceo abbiate le conoscenze) è trovare la direzione di r...che in questo caso è data (per esempio) dal vettore $vec(v)=(0,1,-1)$
Inoltre il piano $alpha$ contiene tutte le rette perpendicolari alla direzione $vec(w)=(1,-1,1)$
La retta s deve avere direzione perpendicolare ad r (quindi perpendicolare a $vec(v)$) e parallela ad $alpha$ (ovvero perpendicolare a $vec(w)$).
In $R^3$ esiste una sola direzione perpendicolare a due direzioni. Il prodotto vettoriale di due direzioni mi restituirà un vettore/direzione che sarà contemporaneamente perpendicolare ad esse. Ovvero $vec(s)=vec(v)xxvec(w)=(0,1,1)$
Quindi la retta con direzione $vec(s)$ e passante per il punto A (in forma parametrica) è data da:
$ s:{( ( x ),( y ),( z ) )=k( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) + ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Ovvero:
$ s:{ ( x=1 ),( y=k ),( z=k+1 ):} $
In equazioni cartesiane diventa:
$ s:{ ( x-1=0 ),( y-z+1=0 ):} $
ho capito quello che vuoi dire ma non capisco qui:
$ s:{ ( x-1=0 ),( y-z+1=0 ):} $
come fa a uscirti $ y-z+1=0 $ ?
quando trasformo in cartesiana e pongo $ t = -y $
mi esce:
$ { ( x-1=0 ),( z+y-1=0 ):} $
L'ho scritto qua $ s:{ ( x=1 ),( y=k ),( z=k+1 ):} $
Sostituendo $z=y+1$ quindi $y-z+1=0$
Sostituendo $z=y+1$ quindi $y-z+1=0$
"Bokonon":
L'ho scritto qua $ s:{ ( x=1 ),( y=k ),( z=k+1 ):} $
Sostituendo $z=y+1$ quindi $y-z+1=0$
scusami un piccolo errore di calcolo hai ragione è giusto, c'è una piccola cosa che mi sono scordato di scriverti prima ossi i vettori direzione che ti risultano $ (0,1,1) $ io li ho trovati come scritto sopra con $ (l,m,n) * (0,1,-1) $ e quindi:
$ m=n=1 $ $ l=0 $
quindi $ (0,1,1) $
ho visto che tu non utilizzi le variabili l,m,n eppure ti risulta come fai? perché se io faccio 0*1 1*-1 -1*1 mi risulta $ (0,-1,-1) $
Quando si parla di direzione (in altre parole quando verso e magnitudine del vettore sono indifferenti) vanno bene tutte le $k*(0,1,1)$
Quindi ad esempio per k=-1 si ottiene la tua.
Anche $(0,pi/2, pi/2)$ va bene...e porta alle medesime equazioni cartesiane. Prova, anche solo per sincerartene da solo!
Quindi ad esempio per k=-1 si ottiene la tua.
Anche $(0,pi/2, pi/2)$ va bene...e porta alle medesime equazioni cartesiane. Prova, anche solo per sincerartene da solo!
P.S. Tu hai risolto il sistema facendo i due prodotti scalari e ponendoli uguali a zero.
Io invece ho fatto il prodotto vettoriale (sai cos'è?)
Io invece ho fatto il prodotto vettoriale (sai cos'è?)
"Bokonon":
P.S. Tu hai risolto il sistema facendo i due prodotti scalari e ponendoli uguali a zero.
Io invece ho fatto il prodotto vettoriale (sai cos'è?)
Ho sentito parlare di prodotto vettoriale ma non ho mai capito come si svolge, grazie di tutto
Nel caso specifico è semplicemente questo determinante:
$ | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) |=0*hat(i)+1*hat(j)+1*hat(k)=<0,1,1> $
Un giorno lo farai...
$ | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) |=0*hat(i)+1*hat(j)+1*hat(k)=<0,1,1> $
Un giorno lo farai...
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