Problema misto
L'altro esercizio alla fine sono riuscita a risolverlo: ora mi occorrono questi (per chi non avesse letto l'altro thread, frequento il quinto liceo classico).
Gli asintoti di un'iperbole coincidono con le rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0 passanti per l'origine degli assi, mentre un fuoco dell'iperbole coincide con il centro della circonferenza.
Si determinino:
1) l'equazione dell'iperbole e le coordinate dei vertici
2) il seno degli angoli formati dai due asintoti
3) l'equazione della retta r tangente all'iperbole, parallela alla retta y = (5/4)x, che tocca la curva in un punto del 1° quadrante e le coordinate del punto di contatto
4) l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per il vertice dell'iperbole di ascissa positiva, per il fuoco di ascissa negativa e per il punto di ascissa 5 e di ordinata positiva
5) l'area della regione di piano compresa tra le tre curve
SECONDO PROBLEMA
Una torre è circondata da un lago rotondo; l'angolo di elevazione della sua cima è di 59°20' da un qualsiasi punto della riva del lago. A mezzogiorno l'ombra della torre è lunga 15,3 m di là della riva, mentre quando il sole giunge a ovest l'ombra è di 40,4 m oltre la riva e gli estremi delle due ombre distano 125,5 m. Calcolare l'altezza della torre e l'altezza del sole a ovest.
TERZO PROBLEMA
La temperatura di un corpo, inizialmente a 60°, che si trova in un ambiente alla temperatura costante di 20°, diminuisce in un minuto del 20% della differenza tra la temperatura del corpo e la temperatura ambiente. Determinare la temperatura del corpo dopo 1,2,3 ... minuti e scrivere le relazioni che definiscono ricorsivamente la successione t0, t1, t2 ... di tali temperature.
GRAZIE INFINITE SE ME LI RISOLVETE TUTTI E TRE!!!!!!!!!
Luisa
Gli asintoti di un'iperbole coincidono con le rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0 passanti per l'origine degli assi, mentre un fuoco dell'iperbole coincide con il centro della circonferenza.
Si determinino:
1) l'equazione dell'iperbole e le coordinate dei vertici
2) il seno degli angoli formati dai due asintoti
3) l'equazione della retta r tangente all'iperbole, parallela alla retta y = (5/4)x, che tocca la curva in un punto del 1° quadrante e le coordinate del punto di contatto
4) l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per il vertice dell'iperbole di ascissa positiva, per il fuoco di ascissa negativa e per il punto di ascissa 5 e di ordinata positiva
5) l'area della regione di piano compresa tra le tre curve
SECONDO PROBLEMA
Una torre è circondata da un lago rotondo; l'angolo di elevazione della sua cima è di 59°20' da un qualsiasi punto della riva del lago. A mezzogiorno l'ombra della torre è lunga 15,3 m di là della riva, mentre quando il sole giunge a ovest l'ombra è di 40,4 m oltre la riva e gli estremi delle due ombre distano 125,5 m. Calcolare l'altezza della torre e l'altezza del sole a ovest.
TERZO PROBLEMA
La temperatura di un corpo, inizialmente a 60°, che si trova in un ambiente alla temperatura costante di 20°, diminuisce in un minuto del 20% della differenza tra la temperatura del corpo e la temperatura ambiente. Determinare la temperatura del corpo dopo 1,2,3 ... minuti e scrivere le relazioni che definiscono ricorsivamente la successione t0, t1, t2 ... di tali temperature.
GRAZIE INFINITE SE ME LI RISOLVETE TUTTI E TRE!!!!!!!!!
Luisa
Risposte
Ciao Luisa.
Una retta passante per l'origine ha equazione:
y=mx
Mettiamola a sistema con l'equazione della circonferenza (che ha centro C(5,0)). Otteniamo:
(1+m^2)x^2 -10x + 16 = 0
Il discriminante D di questa equazione vale:
D/4 = 25-16(1+m^2) = -16m^2 + 9
Se vogliamo che la retta sia tangente alla circonferenza, D dev'essere 0. Dall'ultima equazione, imponendo questa condizione, si ottiene:
-16m^2 + 9 = 0
m^2=9/16
m=3/4 oppure m=-3/4
Quindi le due rette tangenti passanti per l'origine sono:
y=3/4x e y=-3/4x
Essendo queste rette diverse dagli assi cartesiani, l'equazione dell'iperbole sarà del tipo riferito agli assi:
(x/a)^2-(y/b)^2 = 1
Al secondo membro c'è 1 (e non -1) perché un fuoco è sull'asse delle x (nel centro della circonferenza).
Sappiamo che b/a coincide col coefficiente angolare di uno degli asintoti. Imponiamo tale condizione:
b/a = 3/4
b=3/4a
Inoltre, conoscendo l'ascissa del fuoco (5) e applicando la formula relativa:
5 = sqrt(a^2 + b^2)
5 = sqrt(a^2 + 9/16 a^2)
5=sqrt(25/16a^2)
5=5/4a
a = 4
b = 3/4a = 3
L'equazione dell'iperbole è quindi:
(x/4)^2 - (y/3)^2 = 1
I vertici si ottengono imponendo che y=0. Otteniamo x=4 o x=-4. I vertici sono quindi V(4,0) e Q(-4,0).
Chiamiamo q l'angolo formato da un asintoto con l'asse delle ascisse. Allora l'angolo formato dai due asintoti è 2q (l'altro ovviamente è 180°-2q). Dobbiamo calcolare sin(2q).
Di q conosciamo la tangente t=tan(q)=3/4, cioè il coefficiente angolare di un asintoto. Si possono allora usare le cosiddette formule parametriche:
cos(2q) = (1-t^2)/(1+t^2)
sin(2q) = 2t/(1+t^2)
dove t è la tangente di q.
A noi interessa la seconda. Sostituendo t=3/4 otteniamo:
sin(2q) = 24/25
Passiamo alla retta r. Questa (essendo parallela a y=5/4x) deve avere equazione:
r: y = 5/4x + k
Sostituiamo l'equazione di r in quella dell'iperbole. Otteniamo:
2x^2 + 5kx + 2k^2 + 18 = 0
Imponiamo ancora una volta che il discriminante sia nullo (per avere tangenza):
9k^2 - 144 = 0
k = -4
Prendiamo la soluzione negativa così otteniamo tangenza nel primo quadrante (e non nel quarto).
Quindi l'equazione di r è:
r: y = 5/4x - 4
Sostituendo l'equazione di r (con k ancora incognita) in quella dell'iperbole avevamo ottenuto:
2x^2 + 5kx + 2k^2 + 18 = 0
Tenendo presente che k=-4 otteniamo:
x^2 - 10x + 25 = 0
x = 20/4 = 5
L'ordinata del punto di contatto la otteniamo sostituendo x=5 nell'equazione di r: otteniamo y=9/4. Il punto di contatto è quindi P(5,9/4).
Passiamo ora alla parabola.
Il punto dell'iperbole di ascissa 5 e ordinata positiva è quello calcolato qualche riga più sopra e cioè P.Ricapitoliamo i punti di passaggio:
Vertice V(4,0)
Fuoco F(-5,0)
Punto ip. P(5,9/4)
La generica equazione della nostra parabola è:
y = fx^2 + gx + h
Imponiamo il passaggio per i tre punti, cioè sostituiamo ordinatamente le coordinate dei tre punti:
16f + 4g + h = 0
25f - 5g + h = 0
25f + 5g + h = 9/4
Procedendo per sostituzione si ottiene:
f = 9/40
g = 9/40
h = -9/2
L'equzione della parabola è dunque:
y = 9/40x^2 + 9/40x - 9/2
Per quanto riguarda l'area della regione di piano compresa tra le due curve: ce ne sono 2 (se fai un disegno te ne convinci). Una interamente nel primo quadrante. E una tra il secondo e il terzo quadrante. Immagino che il testo si riferisca alla prima.
Nel primo quadrante le due curve s'intersecano in V(4,0) e in P(5,9/4).
L'area è data dall'integrale (e a questo punto capisco che hai fatto le derivate e quindi per le tangenze di prima potevi cavartela anche con quelle...) della differenza tra l'iperbole e la parabola tra 2 e 5. Bisogna esplicitare l'equazione dell'iperbole rispetto a y:
y = 3*sqrt((x/4)^2 - 1)
Denotando con INT(a,b) l'integrale tra a e b, l'area A vale:
INT(2,5) ( 3*sqrt((x/4)^2 - 1) - 9/40x^2 - 9/40x + 9/2) dx
Cominciamo con l'integrazione di 3*sqrt((x/4)^2 - 1):
I=INT (3*sqrt((x/4)^2 - 1)) dx =
INT (12(Sh(s))^2) ds
avendo posto x = 4*Ch(s), con Ch(s) = coseno iperbolico di s.
dx = 4*Sh(s)ds, dove Sh(s) è il seno iperbolico di s.
Integrando per parti l'ultimo integrale si ottiene:
I = 12( Sh(s)Ch(s) - INT (Ch(s))^2 ds )
sfruttiamo il fatto che (Ch(s))^2 = 1 + (Sh(s))^2 e riscriviamo:
I = 12( Sh(s)Ch(s) - INT (1+(Sh(s))^2) ds )
I = 12(Sh(s)Ch(s) - s) - I
L'ultima è una equazione in I, risolviamola:
2I = 12(Sh(s)Ch(s) - s)
I = 6(Sh(s)Ch(s) - s)
Ora ricordiamo che:
s = ArcCh(x/4) = log( x/4 + sqrt((x/4)^2 - 1) )
Ch(s) = x/4
Sh(s) = sqrt( (x/4)^2 - 1 )
Quindi:
I(x) = 6 ( (x/4)sqrt( (x/4)^2 - 1 ) - log( x/4 + sqrt((x/4)^2 - 1) ) )
Dobbiamo calcolare I(4) e I(5):
I(4) = 0
I(5) = 6(15/16 - log(2))
Quindi il primo pezzo dell'integrale iniziale (quello dell'area) vale
I(5) - I(4) = 6(15/16 - log(2)).
Il secondo pezzo è facile da integrare perché contiene solo potenze di x. Più precisamente:
INT ( - 9/40x^2 - 9/40x + 9/2) dx =
= -3/40x^3 - 9/80x^2 + 9/2x
Calcolandolo tra 4 e 5 otteniamo che vale -87/80.
In definitiva l'area vale:
A = 6(15/16 - log(2)) - 87/80
cioè circa 0.3786169.
Modificato da - goblyn il 12/06/2003 02:59:27
Una retta passante per l'origine ha equazione:
y=mx
Mettiamola a sistema con l'equazione della circonferenza (che ha centro C(5,0)). Otteniamo:
Il discriminante D di questa equazione vale:
Se vogliamo che la retta sia tangente alla circonferenza, D dev'essere 0. Dall'ultima equazione, imponendo questa condizione, si ottiene:
m^2=9/16
m=3/4 oppure m=-3/4
Quindi le due rette tangenti passanti per l'origine sono:
Essendo queste rette diverse dagli assi cartesiani, l'equazione dell'iperbole sarà del tipo riferito agli assi:
Al secondo membro c'è 1 (e non -1) perché un fuoco è sull'asse delle x (nel centro della circonferenza).
Sappiamo che b/a coincide col coefficiente angolare di uno degli asintoti. Imponiamo tale condizione:
b=3/4a
Inoltre, conoscendo l'ascissa del fuoco (5) e applicando la formula relativa:
5 = sqrt(a^2 + 9/16 a^2)
5=sqrt(25/16a^2)
5=5/4a
a = 4
b = 3/4a = 3
L'equazione dell'iperbole è quindi:
I vertici si ottengono imponendo che y=0. Otteniamo x=4 o x=-4. I vertici sono quindi V(4,0) e Q(-4,0).
Chiamiamo q l'angolo formato da un asintoto con l'asse delle ascisse. Allora l'angolo formato dai due asintoti è 2q (l'altro ovviamente è 180°-2q). Dobbiamo calcolare sin(2q).
Di q conosciamo la tangente t=tan(q)=3/4, cioè il coefficiente angolare di un asintoto. Si possono allora usare le cosiddette formule parametriche:
sin(2q) = 2t/(1+t^2)
dove t è la tangente di q.
A noi interessa la seconda. Sostituendo t=3/4 otteniamo:
Passiamo alla retta r. Questa (essendo parallela a y=5/4x) deve avere equazione:
Sostituiamo l'equazione di r in quella dell'iperbole. Otteniamo:
Imponiamo ancora una volta che il discriminante sia nullo (per avere tangenza):
k = -4
Prendiamo la soluzione negativa così otteniamo tangenza nel primo quadrante (e non nel quarto).
Quindi l'equazione di r è:
Sostituendo l'equazione di r (con k ancora incognita) in quella dell'iperbole avevamo ottenuto:
Tenendo presente che k=-4 otteniamo:
x = 20/4 = 5
L'ordinata del punto di contatto la otteniamo sostituendo x=5 nell'equazione di r: otteniamo y=9/4. Il punto di contatto è quindi P(5,9/4).
Passiamo ora alla parabola.
Il punto dell'iperbole di ascissa 5 e ordinata positiva è quello calcolato qualche riga più sopra e cioè P.Ricapitoliamo i punti di passaggio:
Vertice V(4,0)
Fuoco F(-5,0)
Punto ip. P(5,9/4)
La generica equazione della nostra parabola è:
Imponiamo il passaggio per i tre punti, cioè sostituiamo ordinatamente le coordinate dei tre punti:
25f - 5g + h = 0
25f + 5g + h = 9/4
Procedendo per sostituzione si ottiene:
g = 9/40
h = -9/2
L'equzione della parabola è dunque:
Per quanto riguarda l'area della regione di piano compresa tra le due curve: ce ne sono 2 (se fai un disegno te ne convinci). Una interamente nel primo quadrante. E una tra il secondo e il terzo quadrante. Immagino che il testo si riferisca alla prima.
Nel primo quadrante le due curve s'intersecano in V(4,0) e in P(5,9/4).
L'area è data dall'integrale (e a questo punto capisco che hai fatto le derivate e quindi per le tangenze di prima potevi cavartela anche con quelle...) della differenza tra l'iperbole e la parabola tra 2 e 5. Bisogna esplicitare l'equazione dell'iperbole rispetto a y:
Denotando con INT(a,b) l'integrale tra a e b, l'area A vale:
Cominciamo con l'integrazione di 3*sqrt((x/4)^2 - 1):
INT (12(Sh(s))^2) ds
avendo posto x = 4*Ch(s), con Ch(s) = coseno iperbolico di s.
dx = 4*Sh(s)ds, dove Sh(s) è il seno iperbolico di s.
Integrando per parti l'ultimo integrale si ottiene:
I = 12( Sh(s)Ch(s) - INT (Ch(s))^2 ds )
sfruttiamo il fatto che (Ch(s))^2 = 1 + (Sh(s))^2 e riscriviamo:
I = 12( Sh(s)Ch(s) - INT (1+(Sh(s))^2) ds )
I = 12(Sh(s)Ch(s) - s) - I
L'ultima è una equazione in I, risolviamola:
2I = 12(Sh(s)Ch(s) - s)
I = 6(Sh(s)Ch(s) - s)
Ora ricordiamo che:
s = ArcCh(x/4) = log( x/4 + sqrt((x/4)^2 - 1) )
Ch(s) = x/4
Sh(s) = sqrt( (x/4)^2 - 1 )
Quindi:
I(x) = 6 ( (x/4)sqrt( (x/4)^2 - 1 ) - log( x/4 + sqrt((x/4)^2 - 1) ) )
Dobbiamo calcolare I(4) e I(5):
I(4) = 0
I(5) = 6(15/16 - log(2))
Quindi il primo pezzo dell'integrale iniziale (quello dell'area) vale
I(5) - I(4) = 6(15/16 - log(2)).
Il secondo pezzo è facile da integrare perché contiene solo potenze di x. Più precisamente:
= -3/40x^3 - 9/80x^2 + 9/2x
Calcolandolo tra 4 e 5 otteniamo che vale -87/80.
In definitiva l'area vale:
cioè circa 0.3786169.
Modificato da - goblyn il 12/06/2003 02:59:27
Terzo problema:
T0=60°
Ta=20°
Chiamiamo T(n) la temperatura dopo n minuti:
T(n+1) = T(n) - 0.2 * ( T(n) - Ta ) = 0.8 * T(n) + 0.2 * Ta
Questa è la relazione ricorsiva.
Proviamo qualche valore di n:
n=0 T(1) = 0.8 * T0 + 0.2 * Ta
n=1 T(2) = 0.8 * T(1) + 0.2 * Ta =
0.8 * (0.8T0+0.2Ta) + 0.2Ta =
0.8^2 * T0 + 0.2(1+0.8)Ta
n=3 T(3) = 0.8(0.8^2T0 +0.2(1+0.8)) + 0.2Ta =
0.8^3 * T0 + 0.2 * (1+0.8+0.8^2)Ta
In definitiva:
T(n) = 0.8^n * T0 + (1-0.8^n) * Ta
Dove si è fatto uso del fatto che:
1+0.8+0.8^2+.....0.8^(n-1) = (1-0.8^n)/(1-0.8)
Immettendo i vari valori di n (1,2,3,4...) si ottengono i valori richiesti.
Il secondo problema era quello che mi piaceva meno
e lo lascio a qualcun altro, ora è tardino... ciao!
T0=60°
Ta=20°
Chiamiamo T(n) la temperatura dopo n minuti:
T(n+1) = T(n) - 0.2 * ( T(n) - Ta ) = 0.8 * T(n) + 0.2 * Ta
Questa è la relazione ricorsiva.
Proviamo qualche valore di n:
n=1 T(2) = 0.8 * T(1) + 0.2 * Ta =
0.8 * (0.8T0+0.2Ta) + 0.2Ta =
0.8^2 * T0 + 0.2(1+0.8)Ta
n=3 T(3) = 0.8(0.8^2T0 +0.2(1+0.8)) + 0.2Ta =
0.8^3 * T0 + 0.2 * (1+0.8+0.8^2)Ta
In definitiva:
Dove si è fatto uso del fatto che:
1+0.8+0.8^2+.....0.8^(n-1) = (1-0.8^n)/(1-0.8)
Immettendo i vari valori di n (1,2,3,4...) si ottengono i valori richiesti.
Il secondo problema era quello che mi piaceva meno
e lo lascio a qualcun altro, ora è tardino... ciao!goblyn
Grazie di cuore goblyn, non è che potresti farmi anche il secondo?
Luisa
Luisa
Chiamiamo h l'altezza della torre. R il raggio dello stagno.
alfa l'angolo di elevazione pari a 59°20'.
Allora:
h/tan(alfa) = R
Sia ds la lunghezza dell'ombra a mezzogiorno e do la lunghezza dell'ombra quando il sole è a ovest (al tramonto). Dev'essere (dai dati):
ds = R + 15.3 = 15.3 + h/tan(alfa)
do = R + 40.4 = 40.4 + h/tan(alfa)
Per il teorema di Pitagora (essendo il sole a mezzogiorno a sud... fai un disegno con la situazione che aiuta!) dev'essere:
ds^2 + do^2 = (125.5)^2
E sostituendo le espressioni di ds e di do si ottiene un'equazione in h (o in R):
R^2 + 55.7R - 6942 = 0
che dà come soluzione positiva R = 60.
Ma h = R * tan(alfa) quindi:
h = 101.19 circa
Per quanto riguarda l'altezza del sole... ci sono infinite altezze per le quali le ombre sono esattamente come descritto nel testo... forse manca un dato? o forse è il caldo che mi ha cotto il cervello...
goblyn
alfa l'angolo di elevazione pari a 59°20'.
Allora:
h/tan(alfa) = R
Sia ds la lunghezza dell'ombra a mezzogiorno e do la lunghezza dell'ombra quando il sole è a ovest (al tramonto). Dev'essere (dai dati):
ds = R + 15.3 = 15.3 + h/tan(alfa)
do = R + 40.4 = 40.4 + h/tan(alfa)
Per il teorema di Pitagora (essendo il sole a mezzogiorno a sud... fai un disegno con la situazione che aiuta!) dev'essere:
ds^2 + do^2 = (125.5)^2
E sostituendo le espressioni di ds e di do si ottiene un'equazione in h (o in R):
R^2 + 55.7R - 6942 = 0
che dà come soluzione positiva R = 60.
Ma h = R * tan(alfa) quindi:
h = 101.19 circa
Per quanto riguarda l'altezza del sole... ci sono infinite altezze per le quali le ombre sono esattamente come descritto nel testo... forse manca un dato? o forse è il caldo che mi ha cotto il cervello...
goblyn
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