Problema mediane triangolo rettangolo

[thedarkhero]

Sia ABC un triangolo rettangolo. L'angolo C misura 90°, l'angolo in B misura 15°.
L'ipotenusa AB misura 24cm.
Sia CO una mediana del triangolo.
Determinare l'area del triangolo AOC.

Ho pensato a teorema del seno e del coseno ma andrebbe risolto senza usare le funzioni trigonometriche. Come posso fare?

[giammaria2]

Ecco un possibile metodo: esternamente al triangolo tracci la semiretta per B che forma un angolo di 30° con AB e da A la perpendicolare a questa semiretta, che la incontra in H; sia K l'intersezione di BC e AH. Il triangolo ABH è mezzo quadrato e ne sai la diagonale, quindi calcoli i lati AH=BH. Il triangolo BHK è metà triangolo equilatero e ne sai l'altezza; ne deduci KH e AK=AH-HK. Dal triangolo ACK (metà equilatero) ricavi ora AC. BC può essere calcolato col teorema di Pitagora o con ragionamenti simili ai precedenti, lavorando sugli stessi triangoli. Calcoli ora l'area di ABC; quella di AOC è la sua metà.

[Nicole931]

altro metodo: la mediana relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale a metà dell'ipotenusa stessa: CO=AO=OB=12cm
quindi il triangolo OCB è isoscele, e l'angolo $BhatOC$ vale 150°
questo vuol dire che $ChatOA$ vale 30°

ora traccia da A la perpendicolare a CO: CH; ottieni anche in questo caso un triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°, per cui, conoscendo AO, riesci a trovare sia AH che HO
ora puoi trovare CH=CO-HO e poi applicare il teorema di Pitagora per trovare AC

[giammaria2]

Complimenti, Nicole93, per il tuo metodo, senz'altro migliore del mio. Mi vendico migliorandolo ancora: l'unica domanda è l'area del triangolo AOC, quindi basta calcolare AH (uso H nel tuo significato): l'area è data da $1/2 CO*AH$

[Nicole931]

Grazie, giammaria.
Ed hai ragione tu, in quanto era richiesta solo l'area (pensavo che si volesse sapere anche il perimetro)