Problema maturità funzioni parametriche

[Vanzan]

Ciao a tutti!!
ho problemi con questo problema:" In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali sono assegnate le seguenti curve parametriche: $y=kx^3+2x $ e $ y=x^3-kx $. Dopo aver dimostrato che le curve passano tutte per l'origine determina il numero delle intersezioni in funzione di k.

Ho dimostrato che passano tutte per l'origine, poi ho eguagliato le due funzioni per trovare il valore di k ossia $ k = (x^3-2x)/(x^3+x) $
E' il procedimento giusto? perchè secondo il libro tra $-2<=k<=1$ ci dovrebbero essere tre intersezioni ma io ne ho solo due studiando la funzione..
Grazie!!

[Sk_Anonymous]

Meglio risolvere il sistema per via algebrica.

[Vanzan]

Ovvero?Cioè dov'è che sbaglio?

[Seneca1]

Hai contanto anche la soluzione $x = 0$ ?

[Vanzan]

Mmm momento.. $x=0$ non è nel dominio!perchè dovrei contarla?è sbagliato disegnare $ k = (x^3-2x)/(x^3+x) $ e intesercarla con il fascio di rette$ y=k$?

[Sk_Anonymous]

Perchè risolvere graficamente quando puoi farlo algebricamente.

[Vanzan]

Perchè non ho capito cosa intendi fare tu e comunque due metodi diversi dovrebbero portare alla stessa soluzione..

[Seneca1]

"Vanzan":Mmm momento.. $x=0$ non è nel dominio!perchè dovrei contarla?è sbagliato disegnare $ k = (x^3-2x)/(x^3+x) $ e intesercarla con il fascio di rette$ y=k$?

Mi sembra corretto... Ma tu stai risolvendo il sistema:

$y = k x^3 + 2 x$ , $y = x^3 - kx$

Cioè $kx^3 + k x = x^3 - 2x$. Una soluzione è evidente: $AA k , x= 0$ è una soluzione dell'equazione.

Giungi poi alla forma $ k = (x^3-2x)/(x^3+x) $ dividendo per $(x^3 + x)$. Quindi supponi che $x^3 + x = x ( x^2 + 1)$ sia diverso da zero. Cioè $x != 0$.

Quindi, oltre alle soluzioni che ritrovi per via grafica studiando la funzione $ (x^3-2x)/(x^3+x) $ , devi considerare la soluzione $x = 0$.

[Vanzan]

Ok capito..quindi visto che il grafico della funzione è compreso tra $-2<=k<=1$, la soluzione che mi segna il libro sia per $k>=1$ sia per $k<=-2$ corrisponde al soluzione $ Vk,x=0$ giusto?

[Seneca1]

Sì. Quello che devi fare è determinare il numero di intersezioni di $y=k$ con il grafico di $(x^3 - 2x)/(x^3 + x)$ e con il grafico della retta $x = 0$.

[Vanzan]

Okayy!! grazie mille davvero:)! buonagiornata!!

[Seneca1]

Probabilmente la risoluzione algebrica del problema suggerita da Speculor è più "economica" in termini di tempo. Seguendo quella sarebbe stata più lampante la presenza della soluzione $x= 0$ - forse...