Problema matematico sulle tangenti alla circonferenza e sull'equazione della circonferenza

[Hanson]

Salve a tutti! Vorrei chiedere gentilmente aiuto per risolvere un problema che mi sta facendo impazzire. Ho provato in tutti i modi ma non sono in grado di capire che strada devo prendere per risolverlo. Non so se metterlo a sistema o se capirne prima la costruzione geometrica.
Scusate se allego il file del problema invece di spiegarlo a parole, ma non saprei come farlo capire meglio. La richiesta è: trova le coordinate del centro del circonferenza.
Grazie in anticipo e buona giornata!

[gio.cri]

Ciao Hanson, provo a risponderti ma tengo a precisare che il mio e' solo un suggerimento e probabilmente potrei sbagliare.
Ho osservato un po' il problema e l'unica idea che mi e' venuta e' quello di risolverlo con le equazioni della retta e della circonferenza.

Partiamo dal fatto che la coordinata x del centro della circonferenza e' facilmente calcolabile ad occhio, infatti, dal disegno basta aggiungere il raggio e troviamo una x= 0.5. Ma noi ce ne facciamo ben poco di questa coordinata, le vogliamo entrambe.

Allora, non faccio tutti i ragionamenti perche' (ripeto) potrebbero essere del tutto sbagliati.

Innanzitutto, trovo le equazioni delle due rette che devono essere tangenti alla circonferenza. La prima retta e' parallalela all'asse delle y e passa per l'origine del sistema, quindi:

[math]r_1: x=0 [/math]

Mentre, per la seconda retta passante per i punti (0,2) e (2,0) troviamo:

[math]r_2: y=-x+2 [/math]

Per quanto riguarda la circonferenza, sappiamo che la sua equazione e':

[math] (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2 [/math]

Ma non conosciamo il centro. Costruiamo un primo sistema che trova il punto di tangenza tra la circonferenza e la retta 1, svolgendo i calcoli arrivo a:

[math] y_{1,2} = \frac{2y_c\pm\sqrt{4y_c^2-4(x_c^2+y_c^2-r^2)}}{2} [/math]

Ma ricordiamo che il Delta deve essere pari a zero affinche' ci sia tangenza. Quindi:

[math] \Delta_1 = 4y_c^2-4(x_c^2+y_c^2-r^2) = 0 [/math]

Adesso, costruiamo un secondo sistema per trovare il punto di tangenza tra la circonferenza e la retta 2, svolgendo i calcoli arrivo a:

[math] x_{1,2}=\frac{(2x_c+4-2y_c)\pm\sqrt{(-2x_c-4+2y_c)^2-8(x_c^2+y_c^2-4y_c+4-r^2)}}{4} [/math]

Anche in questo caso il Delta deve essere pari a zero affinchè la circonferenza sia tangente alla retta. Quindi:

[math] \Delta_2 = (-2x_c-4+2y_c)^2-8(x_c^2+y_c^2-4y_c+4-r^2)=0 [/math]

I due Delta calcolati sono condizioni che devono esistere contemporaneamente, quindi, mettendole a sistema troveremo:

[math] 1) 4y_c^2-4(x_c^2+y_c^2-r^2) = 0
2) (-2x_c-4+2y_c)^2-8(x_c^2+y_c^2-4y_c+4-r^2)=0 [/math]

Svolgendo questo sistema troveremo 4 soluzioni, di cui solo una rispetta pienamente le condizioni richieste.
Spero che questo ragionamento possa aiutarti, qualora trovassi la soluzione in maniera differente se vuoi puoi condividere i tuoi risultati con noi. Buona giornata