Problema massimo minimo.
Buongiorno a tutti!! Ho un problema con questo quesito.. "Su un piano orrizzontale alfa, si pongono un cono circolare retto, avente raggio di base r e altezza 2r e una sfera di raggio r. A quale distanza x dal piano alfa bisogna tagliare i due solidi con un piano // ad alfa, affinchè la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima?"
Allora l'area della sezione del cono la posso trovare con la proporzione $ A : 4r^2 = a: (2r-x)^2$
Quindi: $a = ((pi*r^2)*(2r-x)^2 )/(4r^2)
Per la sfera ho fatto simile, ovvero:$A : r^2 = a : x^2$ Ma poi i calcoli non vengono.. e ho parecchi dubbi sull' esattezza dell'ultima proporzione..
Grazie mille!!
Allora l'area della sezione del cono la posso trovare con la proporzione $ A : 4r^2 = a: (2r-x)^2$
Quindi: $a = ((pi*r^2)*(2r-x)^2 )/(4r^2)
Per la sfera ho fatto simile, ovvero:$A : r^2 = a : x^2$ Ma poi i calcoli non vengono.. e ho parecchi dubbi sull' esattezza dell'ultima proporzione..
Grazie mille!!
Risposte
Fai bene ad avere dubbi, perchè non c'è proporzionalità. Interseca la sfera con un piano passante per il suo centro e perpendicolare ad alfa: ottieni un cerchio tangente alla retta che rappresenta alfa; il diametro del cerchio sezione è la corda intercettata dalla parallela a quella retta. Col teorema di Pitagora calcoli facilmente il raggio della sezione.
Ok grazie mille!! quindi l'area della sezione sferica è uguale a $-x^2pi+2xpir$
Sommando le due aree si ottiene: $(4pir^2+x^2pi-4xpir-4x^2pi+8xpir)/4$
Derivando: $(2xpi-4pir-8xpi+8pir)/4$
quindi: $-6xpi> -4pir$
$x<(2/3)r$
E giusto? non ho il risultato..
Grazie ancora!!
Sommando le due aree si ottiene: $(4pir^2+x^2pi-4xpir-4x^2pi+8xpir)/4$
Derivando: $(2xpi-4pir-8xpi+8pir)/4$
quindi: $-6xpi> -4pir$
$x<(2/3)r$
E giusto? non ho il risultato..
Grazie ancora!!
E' giusto, ma in futuro, prima di derivare, scrivi la funzione nella forma migliore. Ecco come:
1) Il fattore $pi$ va scritto subito dopo il coefficiente numerico; seguono le lettere che indicano costanti e per ultima la variabile: quindi non $8x pi r$ ma $8 pi rx$. Il risultato non cambia, ma facendo in questo modo ti orizzonti meglio e sei più ordinato.
2) Riduci i termini simili.
3) Metti in evidenza eventuali fattori costanti; nei polinomi non conviene invece mettere in evidenza la variabile, neanche se si può.
La forma migliore per la tua funzione è quindi $pi/4(-3x^2+4rx+4r^2)$.
Inoltre finisci l'esercizio: ti sei fermato alla soluzione della disequazione, senza dire che quella è la $x$ del massimo né calcolare il valore massimo.
1) Il fattore $pi$ va scritto subito dopo il coefficiente numerico; seguono le lettere che indicano costanti e per ultima la variabile: quindi non $8x pi r$ ma $8 pi rx$. Il risultato non cambia, ma facendo in questo modo ti orizzonti meglio e sei più ordinato.
2) Riduci i termini simili.
3) Metti in evidenza eventuali fattori costanti; nei polinomi non conviene invece mettere in evidenza la variabile, neanche se si può.
La forma migliore per la tua funzione è quindi $pi/4(-3x^2+4rx+4r^2)$.
Inoltre finisci l'esercizio: ti sei fermato alla soluzione della disequazione, senza dire che quella è la $x$ del massimo né calcolare il valore massimo.
Si grazie mille! infatti ho rifatto una marea di volte questi conti perchè continuavo le lettere, e purtroppo ho una pessima grafia -.-
Sisi ho finito bene l'esercizio sul quaderno;-)
Grazie ancora!
Sisi ho finito bene l'esercizio sul quaderno;-)
Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo