Problema Massimo e Minimo Geometrico
Buongiorno, vorrei che qualcuno mi aiutasse a risolvere questo problema. Grazie
Risposte
Buongiorno LucaRiccardi,
prima di tutto devi fare il disegno, poi per facilitare la spiegazione, introduciamo altri 2 punti:
Q è il punto che la distanza X di P da AB intercetta sul cateto AB;
R è il punto che la distanza X di P da BC intercetta sull'ipotenusa BC;
(indicheremo sqrt[argomento] la radice quadrata dell'argomento e con la terminologia "[valore]^2" il quadrato del valore)
detto questo, alcuno informazioni sono fornite dalla forma geometrica della figura:
1)essendo un triangolo rettangolo di ipotenusa 5 e cateto 3, significa che per Pitagora il secondo cateto vale 4:
AC=sqrt[5^2-3^2]=4
2)sempre per le proprietà dei triangoli rettangoli, sono noti anche gli angoli interni del triangolo che tuttavia non sarà necessario esplicare numericamente:
detto questo attraverso i fondamenti della trigonometria sappiamo che :
5*sin[ABC]=4
5*cos[ABC]=3
siccome è coinvolta anche una bisettrice, ci interessa anche il valore di ABC/2 che secondo la formula trigonometrica di bisezione esprimiamo come:
-tan[ABC/2]=(sin[ABC]/(1+cos[ABC])
e dato che sin[abc] e cos[ABC] sono noti, scriviamo:
tan[ABC/2]=(4/5)/(1+3/5)=1/2
siccome ho tracciato le altezze PQ e PR dalla bisettice, per costruzione grafica i triangoli BPQ e BPS sono rettangoli e sono uguali (simmetrici rispetto alla bisettrice).
in tal caso [ABC/2] può essere espressa anche come:
-BQ*tan[ABC/2]=X
-BR*tan[ABC/2]=X
per quanto detto sopra si ha quindi:
BQ=BR=2*X
3) ora possiamo determinare il campo di esistenza del parametro X che non può andare oltre un certo valore tale che BQ=BA
e quindi
2*X=3
dunque la X deve essere compresa tra [0,3/2] (inclusi gli estremi)
4) ora determiniamo il valore di X compreso nell'intervallo di esistenza tale che la soma dei quadrati delle congiungenti di P con i vertici di ABC sia minimo:
se BQ=BS=2*X allora sappiamo anche che:
SC=5-2*X
QA=3-2*X
ora per pitagora possiamo scrivere i quadrati come:
PB^2=BS^2+PS^2=(2*X)^2+X^2
PA^2=QA^2+PQ^2=(3-2*x)^2+X^2
PC^2=SC^2+PS^2=(5-2*X)^2+x^2
sommandoli abbiamo la nostra funzione:
f(X)=PB^2+PA^2+PC^2=15*X^2-32*X+34
5)noteremo che la funzione f(X) è una parabola e il minimo è il suo vertice, che determiniamo come lo zero della derivata prima:
d(f(X))/dX=30*X-32
e per d(f(X))/dX=0 ho la soluzione finale:
30*X-32=0
X=32/30=16/15
Spero di esserti stato d'aiuto e buona giornata :D
prima di tutto devi fare il disegno, poi per facilitare la spiegazione, introduciamo altri 2 punti:
Q è il punto che la distanza X di P da AB intercetta sul cateto AB;
R è il punto che la distanza X di P da BC intercetta sull'ipotenusa BC;
(indicheremo sqrt[argomento] la radice quadrata dell'argomento e con la terminologia "[valore]^2" il quadrato del valore)
detto questo, alcuno informazioni sono fornite dalla forma geometrica della figura:
1)essendo un triangolo rettangolo di ipotenusa 5 e cateto 3, significa che per Pitagora il secondo cateto vale 4:
AC=sqrt[5^2-3^2]=4
2)sempre per le proprietà dei triangoli rettangoli, sono noti anche gli angoli interni del triangolo che tuttavia non sarà necessario esplicare numericamente:
detto questo attraverso i fondamenti della trigonometria sappiamo che :
5*sin[ABC]=4
5*cos[ABC]=3
siccome è coinvolta anche una bisettrice, ci interessa anche il valore di ABC/2 che secondo la formula trigonometrica di bisezione esprimiamo come:
-tan[ABC/2]=(sin[ABC]/(1+cos[ABC])
e dato che sin[abc] e cos[ABC] sono noti, scriviamo:
tan[ABC/2]=(4/5)/(1+3/5)=1/2
siccome ho tracciato le altezze PQ e PR dalla bisettice, per costruzione grafica i triangoli BPQ e BPS sono rettangoli e sono uguali (simmetrici rispetto alla bisettrice).
in tal caso [ABC/2] può essere espressa anche come:
-BQ*tan[ABC/2]=X
-BR*tan[ABC/2]=X
per quanto detto sopra si ha quindi:
BQ=BR=2*X
3) ora possiamo determinare il campo di esistenza del parametro X che non può andare oltre un certo valore tale che BQ=BA
e quindi
2*X=3
dunque la X deve essere compresa tra [0,3/2] (inclusi gli estremi)
4) ora determiniamo il valore di X compreso nell'intervallo di esistenza tale che la soma dei quadrati delle congiungenti di P con i vertici di ABC sia minimo:
se BQ=BS=2*X allora sappiamo anche che:
SC=5-2*X
QA=3-2*X
ora per pitagora possiamo scrivere i quadrati come:
PB^2=BS^2+PS^2=(2*X)^2+X^2
PA^2=QA^2+PQ^2=(3-2*x)^2+X^2
PC^2=SC^2+PS^2=(5-2*X)^2+x^2
sommandoli abbiamo la nostra funzione:
f(X)=PB^2+PA^2+PC^2=15*X^2-32*X+34
5)noteremo che la funzione f(X) è una parabola e il minimo è il suo vertice, che determiniamo come lo zero della derivata prima:
d(f(X))/dX=30*X-32
e per d(f(X))/dX=0 ho la soluzione finale:
30*X-32=0
X=32/30=16/15
Spero di esserti stato d'aiuto e buona giornata :D
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