Problema massimo e minimo
iscrivi nella parte di piano compresa tra la parabola $y=-x^2+2$ e l'asse x un rettangolo in modo che sia massimo il volume del cilindro che si ottiene con una rotazione completa intorno all'asse x. (K=1)
allora considerando $h=2sqrt(2-k)$ e $r=k$ trovo che il $V=pir^2 2sqrt(2-k)$ ma poi facendo la derivata non mi trovo col risultato...
allora considerando $h=2sqrt(2-k)$ e $r=k$ trovo che il $V=pir^2 2sqrt(2-k)$ ma poi facendo la derivata non mi trovo col risultato...
Risposte
Spiega come hai impostato il problema...
La formula è $V = pi r^2 h$.
Sia $y = k$ una retta parallela all'asse delle $x$ che intersechi la parabola in due punti distinti, con $0 < k < 2$.
Il raggio è $k/2$ mentre l'altezza $h$ è semplicemente la differenza dei punti $x_1 , x_2$ in cui la retta $y = k$ interseca la parabola.
Quindi $V(k) = pi (k/2)^2 | x_2 - x_1 |$
$V'(k) = $...
Sia $y = k$ una retta parallela all'asse delle $x$ che intersechi la parabola in due punti distinti, con $0 < k < 2$.
Il raggio è $k/2$ mentre l'altezza $h$ è semplicemente la differenza dei punti $x_1 , x_2$ in cui la retta $y = k$ interseca la parabola.
Quindi $V(k) = pi (k/2)^2 | x_2 - x_1 |$
$V'(k) = $...
Perché $k/2$? Se la rotazione è attorno all'asse x il raggio è $k$.
"@melia":
Perché $k/2$? Se la rotazione è attorno all'asse x il raggio è $k$.
Hai ragione. Distrattamente avevo immaginato una rotazione attorno alla retta $y = k/2$.
Avevo immaginato il tuo pensiero: rotazione attorno all'asse del rettangolo. 
E' sempre confortante sapere che qualcuno controlla le mie sviste. 
@caseyn: Colgo l'occasione per farti notare che in problemi del genere è sempre opportuno considerare le limitazioni imposte dal problema (nel caso particolare $k in ]0, 2[$).
Il motivo - intuibile tra l'altro - è che quando si cercano i massimi e i minimi di una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato, oltre ai punti in cui la derivata si annulla si deve controllare il valore della funzione agli estremi dell'intervallo (in cui potrebbe benissimo esserci un punto estremante pur non annullandosi la derivata prima).
Nel tuo caso non servirebbe - sei favorito dall'intuizione geometrica. Vedi istantaneamente che per $k = 0$ il rettangolo "collassa" in un segmento sull'asse delle ascisse; per $k = 2$ avviene una cosa simile e in entrambi i casi (che sono casi limite) il volume è nullo. Chiaro?
@caseyn: Colgo l'occasione per farti notare che in problemi del genere è sempre opportuno considerare le limitazioni imposte dal problema (nel caso particolare $k in ]0, 2[$).
Il motivo - intuibile tra l'altro - è che quando si cercano i massimi e i minimi di una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato, oltre ai punti in cui la derivata si annulla si deve controllare il valore della funzione agli estremi dell'intervallo (in cui potrebbe benissimo esserci un punto estremante pur non annullandosi la derivata prima).
Nel tuo caso non servirebbe - sei favorito dall'intuizione geometrica. Vedi istantaneamente che per $k = 0$ il rettangolo "collassa" in un segmento sull'asse delle ascisse; per $k = 2$ avviene una cosa simile e in entrambi i casi (che sono casi limite) il volume è nullo. Chiaro?
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