Problema massimi e minimi
nel piano xOy è data la parabola di quazione $y=4x-x^2$, di vertice V; siano O e A i suoi punti d'intersezione con l'asse x e sia P un punto dell'aco VA di ascissa a. Determinare i valori di a per iquali il riangolo OPV ha l'area massima e minima.
allora....
io ho ragionato così
il vertice è $V(2;4)$
il punto P ha coordinate $(a; 4a-a^2)$
OV = $sqrt(5)$
PH (altezza del triangolo come distanza di un punto da una retta)=$|-2a+4a-a^2|/(sqrt(5))$
l'areaè uguale a $|2a-a^2|$
dopo aver studiato il valore assoluto, cambio segno e tudio la derivata.
mi esce a=1.
ma non è compreso tra le mie limitazioni, che sono $2<=a<=4$
è possibile una cosa del genere oppure ho sbagliato qualcosa io?
allora....
io ho ragionato così
il vertice è $V(2;4)$
il punto P ha coordinate $(a; 4a-a^2)$
OV = $sqrt(5)$
PH (altezza del triangolo come distanza di un punto da una retta)=$|-2a+4a-a^2|/(sqrt(5))$
l'areaè uguale a $|2a-a^2|$
dopo aver studiato il valore assoluto, cambio segno e tudio la derivata.
mi esce a=1.
ma non è compreso tra le mie limitazioni, che sono $2<=a<=4$
è possibile una cosa del genere oppure ho sbagliato qualcosa io?
Risposte
Ottengo il tuo stesso risultato, quindi deve essere giusto: massimo e minimo (assoluti) sono negli estremi dell'intervallo. Per il calcolo dell'area ho usato un altro metodo, che evita il valor assoluto: tracciata per P la parallela all'asse x, che incontra OV in Q, ho calcolato PQ: il triangolo dato è la somma di due triangoli di base PQ, quindi equivalente ad un triangolo avente per base PQ e per altezza la somma delle altezze.
La misura del lato $OV$ dovrebbe essere $2sqrt5$ e non $sqrt5$. Non so se può essere utile questo perchè non ho rifatto i conti 
ok, grazie mille! 
ho un altra domanda...
se ho quest integrale
$int ln(8+x*sqrt(x))/(sqrt(x))$
ho posto $t=sqrt(x)$
e quindi mi viene
$int ln (8+t^3)$
l'argomento io l'ho visto come
$A^3+B^3=(A+B)(A^2+B^2+AB)$
perchè con l'integrazione per parti non sapevo come uscirmene... con un termine al cubo!
poi naturalmente viene una somma di integrali che integro per parti...
è giusto?
ho un altra domanda...
se ho quest integrale
$int ln(8+x*sqrt(x))/(sqrt(x))$
ho posto $t=sqrt(x)$
e quindi mi viene
$int ln (8+t^3)$
l'argomento io l'ho visto come
$A^3+B^3=(A+B)(A^2+B^2+AB)$
perchè con l'integrazione per parti non sapevo come uscirmene... con un termine al cubo!
poi naturalmente viene una somma di integrali che integro per parti...
è giusto?
"Relegal":
La misura del lato $OV$ dovrebbe essere $2sqrt5$ e non $sqrt5$. Non so se può essere utile questo perchè non ho rifatto i conti
si anch'io mi trovo così, ho sbagliato a ricopiare
scusate ragazzi.. domani ho il compito e sono piena di dubbi ::(
ho quest altro problema
scrivere l'equazine della circonferenza passante per L'origine O e di centro C (4;0) .determinare il punto P della criconferenza per il quale il valore del rapporto $(PA)^2/(PO)^2$ è minimo, essendo A l'ulteriore intersezione della circonferenz con l'asse x.
allora... io l'ho risolto, mi trovo anche.
P=(8;0).
ma ho considerato P nella parte positiva della circonferenza.
ho fatto bene?
ho pensato che comunque sarebbe stata la medesima cosa, perchè la circonferenzza è simmetrica rispetto al'asse x... è giusta come considerazione? perchè ci ho pensato dopo.. come dire... prima ho raggiunto il risultato, poi mi sono abbandonata alle considerazioni... mmh
ho quest altro problema
scrivere l'equazine della circonferenza passante per L'origine O e di centro C (4;0) .determinare il punto P della criconferenza per il quale il valore del rapporto $(PA)^2/(PO)^2$ è minimo, essendo A l'ulteriore intersezione della circonferenz con l'asse x.
allora... io l'ho risolto, mi trovo anche.
P=(8;0).
ma ho considerato P nella parte positiva della circonferenza.
ho fatto bene?
ho pensato che comunque sarebbe stata la medesima cosa, perchè la circonferenzza è simmetrica rispetto al'asse x... è giusta come considerazione? perchè ci ho pensato dopo.. come dire... prima ho raggiunto il risultato, poi mi sono abbandonata alle considerazioni... mmh
Per la seconda domanda: sostanzialmente è giusto ma dimentichi i differenziali e un fattore 2 quando cambi variabile. Potevi anche fare subito l'integrazione per parti (così la facevi una volta sola); la tua scomposizione era però necessaria nei calcoli successivi, che risultavano più complicati.
Per la terza domanda: la tua considerazione è giusta ma deve essere scritta per dimostrare che ci hai pensato. Mi sembra invece cretino il problema: allo spostarsi di P da O ad A, PO aumenta e PA diminuisce, quindi il rapporto dato va sempre diminuendo e non serve l'analisi matematica.
ho capito.... ma in realtà ci sono arrivata un pò... forzatamente? 
anche se il rapporto non fosse stato al quadrato, e se magari si fosse trattato di un area, sarebbe valsa la simmetria giusto? perchè sia x,sia y sono negativi.
Beh, si. hai ragione.
non ci avevo pensato, ma concettualmente è banalissimo.
anche se il rapporto non fosse stato al quadrato, e se magari si fosse trattato di un area, sarebbe valsa la simmetria giusto? perchè sia x,sia y sono negativi.
Beh, si. hai ragione.
non ci avevo pensato, ma concettualmente è banalissimo.
Da quanto dici deduco che hai usato la geometria analitica, ed è spontaneo farlo quando il problema è dato con questa. Se però si parla solo di rette e/o circonferenze, spesso è meglio servirsi della geometria euclidea o della trigonometria: il tuo ultimo problema diventava facilissimo indicando con x l'angolo in O oppure uno dei due segmenti del rapporto. Anni fa, un problema d'esame, dato in analitica, richiedeva circa 4 pagine di calcoli per risolverlo con questo mezzo, ma solo mezza paginetta con l'euclidea (che nessun allievo di mia conoscenza ha usato). Tienilo presente per l'esame.
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