Problema limite con De Hopital

[caffeinaplus]

Salve, sto cercando di risolvere un limite, in cui il libro mi da un suggerimento che non riesco a capire.Il limite è questo

$ lim_{x\to1^-} ln(x)*ln(1-x) $ il risultato dato dal libro è $ 0 $.Il suggerimento è di svolgere il limite in questo modo

$ lim_{x\to1^-} \frac(ln(1-x))(\frac{1}{ln(x})) = lim_{x\to1^-} \frac{\frac{-1}{1-x}}{\frac{-1}{xln^2x}} $

Ecco, io non capisco perchè alla seconda uguaglianza non è :

$ lim_{x\to1^-} \frac{\frac{-1}{1-x}}{\frac{-ln(x)}{ln^2(x)}} $

PS: In entrambi i modi non riesco ad arrivare alla soluzione richiesta, quindi anche un aiutino in questo punto sarebbe gradito

Modifica: avevo sbagliato nel trascrivere il suggerimento del libro

[Casio98]

Al denominatore non deve essere $-ln(x)/ln^2(x)$ ma $-1/(xln^2(x))$ (devi moltiplicare per la derivata di $ln(x)$) e quindi il limite che ti dà il libro è comunque sbagliato.

[caffeinaplus]

EDIT: Come non detto, sono riuscito, grazie mille!