Problema Iperbole Domani verifica

[SamB98]

Servirebbe la spiegazione entro oggi perchè domani ho verifica, grazie.

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti che stacca sulla retta x+y=6 un segmento di lunghezza 2 radice di 2. determina poi le coordinate dei vertici e dei fuochi.

[carlogiannini]

I punti di incontro tra due "curve" o funzioni si trovano SEMPRE e SOLO risolvendo un sistema.
IPERBOLE EQUILATERA

[math]xy=k[/math]

,
cioè

[math]y=\frac{k}{x}[/math]

.
RETTA (implicita)

[math]x+y=f[/math]

.
cioè:

[math]y=-x+6[/math]

.
-> SISTEMA:
.

[math]\frac{k}{x}=-x+6[/math]

.

[math]\frac{k}{x}+x-6=0[/math]

.
.

[math]\frac{k+x^2-6x}{x}=0[/math]

.

.

[math]\frac{x^2-6x+k}{x}=0[/math]

.
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Da qui ricaviamo che una frazione è ZERO se e solo se il numeratore è ZERO,
ma dobbiamo anche dire che "x" (il denominatore) DEVE essere diverso da ZERO.
.

[math]x^2-6x+k=0[/math]

.
e

[math]x\neq0[/math]

.
.
Risolvendo l'equazione troviamo:
.

[math]x_1=3-\sqrt{9-k}[/math]

.
.

[math]x_2=3+\sqrt{9-k}[/math]

.
.
Sostituendo nell'eq. della retta troviamo:
.

[math]y_1=-(3-\sqrt{9-k})+6=3+\sqrt{9-k}[/math]

.
.

[math]y_2=-(3+\sqrt{9-k})+6=3-\sqrt{9-k}[/math]

.
.
Ora abbiamo le coordinate dei due punti di contatto, che sono gli estremi del segmento cercato.
Come puoi vedere le coordinate contengono il "parametro "k".
Applicando la formula della distanza tra due punti e ponendola uguale a

[math]2\sqrt2[/math]

, trovi una equazione in incognita "k".
Risolvendo rispetto a "k" trovi il valore da sostituire nell'equazione generica:
.

[math]y=\frac{k}{x}[/math]

.
.
e poi il gioco è fatto.
Fammi sapere se sono stato sufficientemente chiaro e controlla i calcoli perché potrei aver fatto qualche svista tra il mio foglio e la digitazione in Latex.
Carlo