Problema Iperbole Domani verifica

[SamB98]

Servirebbe la spiegazione entro oggi perchè domani ho verifica, grazie.

Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti che stacca sulla retta x+y=6 un segmento di lunghezza 2 radice di 2. determina poi le coordinate dei vertici e dei fuochi.

[mazzarri1]

Ciao Sam

Una iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ha equazione

$xy=k$

che ti ricordo esprime la "proporzionalità inversa"

la intersechiamo con la retta data $y=6-x$ mettendola a sistema con essa

Otteniamo, prendendo la $y$ dalla seconda e sostituendo nella prima,

$x^2-6x+k=0$

equazione che risolta ti fornisce

$x_(1,2)=3+-sqrt(9-k)$

Queste sono le coordinate x dei due punti in cui la retta interseca la iperbole. Scriviamoli per intero

$A(3-sqrt(9-k),3+sqrt(9-k))$

$B(3+sqrt(9-k),3-sqrt(9-k))$

La distanza AB è per ipotesi pari a $2sqrt(2)$ e vale se non sbaglio i calcoli

$AB=sqrt(8(9-k))$

da cui ricaviamo allora

$8(9-k)=(2sqrt(2))^2=8$ cioè

$k=8$

e la tua iperbole è $xy=8$

Se non ricordo male per i fuochi abbiamo

$F_1 (a,a)$

con $a=sqrt(2k)$

quindi

$F_1 (sqrt(16),sqrt(16))$ cioè $F_1(4,4)$

$F_2 (-sqrt(16),-sqrt(16))$ cioè $F_2(-4,-4)$

e per i vertici $V(sqrt(k),sqrt(k))$ cioè

$V_1 (sqrt(8),sqrt(8))$ cioè $V_1 (2sqrt(2),2sqrt(2))$

$V_2 (-sqrt(8),-sqrt(8))$ cioè $V_2 (-2sqrt(2),-2sqrt(2))$

tutto chiaro? Ricontrolla i miei calcoli non si sa mai...

ciao!

[SamB98]

Grazie

[gio73]

ma poi la verifica come è andata?