Problema integrale

[Demostene92]

Ciao a tutti non riesco a risolvere correttamente questo integrale per sostituzione:

$ int 1/(xsqrt(2x-1)] dx $ dove devo porre $sqrt(2x-1) = t$

Allora io procedo calcolando il differenziale $dt=1/2sqrt(2x-1)dx$ e calcolando la $x = (t^2+1)/2$
Quindi a questo punto divido e moltiplico l'integrale per $2$ per potere inserire correttamente il differenziale $dt$ all'interno dell'integrale:

$ 2int 1/(2xsqrt(2x-1)] dx $

Ora sostituisco la $t$ e trasformo in funzione di $t$:

$ 2int 2/(t^2+1) dt = 4int 1/(t^2+1) dt = 4arctgsqrt(2x-1) + c$

Ma non mi viene per poco. Il risultato deve essere: $2arctgsqrt(2x-1) + c$
Potreste dirmi dove sbaglio? ç_ç

[chiaraotta1]

Se $t = sqrt(2x-1)$, allora $dt = [1/sqrt(2x - 1)]dx$

[Sk_Anonymous]

Io opererei nella seguente maniera: [tex]$\sqrt{2x-1}=t \rightarrow 2x-1=t^{2} \rightarrow x=\frac{t^{2} +1}{2} \rightarrow dx=\frac{1}{2} \cdot 2t\,dt \rightarrow dx=t\,dt$[/tex]; utilizzando quindi la sostituzione adottata si ottiene che [tex]$\int \frac{1}{x\sqrt{2x-1}}\,dx=\int \frac{1}{\frac{t^{2}+1}{2} \cdot t} \cdot t\,dt=\int \frac{2}{t^{2} +1}\,dt=2\arctan t\,+\,c=2\arctan \sqrt{2x-1}\,+\,c$[/tex]

[Demostene92]

Facendolo così mi viene anche a me, però è assurdo che nell'altro modo non mi venga.. Come mai?

[Demostene92]

Solitamente li faccio sempre come ho illustrato nel primo post, però questo esercizio non mi viene e ci sto sbattendo la testa

[Gi81]

Te l'ha spiegato chiaraotta: tu hai scritto $dt=1/(2sqrt(2x-1)) dx $, ma in realtà è $dt=1/sqrt(2x-1)dx$

[Demostene92]

Ma $dt$ non è uguale alla derivata prima di t per dx?

[Sk_Anonymous]

Sì. E come derivi [tex]$\sqrt{2x-1}$[/tex]?

[Seneca1]

"Demostene92":Ma $dt$ non è uguale alla derivata prima di t per dx?

$t = sqrt( 2 x - 1 )$

La derivata di $t$ rispetto a $x$ è $t'(x) = 1/(2( sqrt(2x - 1 ) )) * 2 = 1/(sqrt(2x - 1))$

Si pone allora $dt = t'(x) dx = 1/(sqrt(2x - 1)) dx$.

[Demostene92]

Avete ragione.
Mi ero dimenticato che bisognava moltiplicare ulteriormente per 2 la frazione della derivata prima di t in funzione di x.
Grazie a tutti e scusate se vi ho rubato del tempo per queste banalità