Problema insolito di calcolo delle probabilità
Mi è stato posto un quesito sul calcolo delle probabilità che non sono in grado di risolvere. Il quesito è questo: ho 10 monete in un sacchetto, 9 sono regolari Testa/Croce, 1 è Testa/Testa. Ne estraggo una e, senza guardare che moneta sia, eseguo 6 lanci. I sei lanci mi ridanno sempre Testa come risultato. Alla luce di questi sei lanci qual'è la probabilità che sia stata estratta la moneta T/T e non T/C? Ovvero, come viene influenzata la probabilità di 1/10 che vale per l'estrazione?
L'unica cosa che ho pensato è stato di valutare le probabilità degli eventi contrari e farne il prodotto, ho ottenuto:
$ P=(1 - 1/10)(1-1/64)= 0,88 $
dove la prima parentesi rappresenta la probabilità contraria dell'estrazione e la seconda la probabilità contraria dei sei lanci ( $ (1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2)=(1/(2^6))=1/64 $ )Testa o Croce del lancio della moneta estratta.
L'unica cosa che ho pensato è stato di valutare le probabilità degli eventi contrari e farne il prodotto, ho ottenuto:
$ P=(1 - 1/10)(1-1/64)= 0,88 $
dove la prima parentesi rappresenta la probabilità contraria dell'estrazione e la seconda la probabilità contraria dei sei lanci ( $ (1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2)=(1/(2^6))=1/64 $ )Testa o Croce del lancio della moneta estratta.
Risposte
Non sono molto esperto nel settore, ma provo questa idea
I due casi da esaminare sono:
abbiamo estratto T/T e abbiamo ottenuto 6T
abbiamo estratto T/C e abbiamo ottenuto 6T
La probabilità del primo è $P_{T*T} = 1/10 * 1$
Quella del secondo è $P_{T*C} = 9/10* 1/2^6$
Il rapporto fra le due è $P_{T*T}/P_{T*C} =1/10*10/9*2^6 = 64/9$
Però, sapendo che abbiamo ottenuto 6T, il rapporto trovato ci dà la probabilità relativa di avere estratto T/T o T/C, che sono i soli due casi possibili, ossia $P_{T*C}+P_{T*T} =1 -> P_{T*C} = 1 - P_{T*T} = 1 - 64/9P_{T*C} -> P_{T*C} = 9/73$ e $P_{T*T} = 64/73$
Spero di non aver scritto scemenze...
I due casi da esaminare sono:
abbiamo estratto T/T e abbiamo ottenuto 6T
abbiamo estratto T/C e abbiamo ottenuto 6T
La probabilità del primo è $P_{T*T} = 1/10 * 1$
Quella del secondo è $P_{T*C} = 9/10* 1/2^6$
Il rapporto fra le due è $P_{T*T}/P_{T*C} =1/10*10/9*2^6 = 64/9$
Però, sapendo che abbiamo ottenuto 6T, il rapporto trovato ci dà la probabilità relativa di avere estratto T/T o T/C, che sono i soli due casi possibili, ossia $P_{T*C}+P_{T*T} =1 -> P_{T*C} = 1 - P_{T*T} = 1 - 64/9P_{T*C} -> P_{T*C} = 9/73$ e $P_{T*T} = 64/73$
Spero di non aver scritto scemenze...
Corretto. Si tratta del classico esercizio che dovrebbe essere formalizzato mediante il teorema di Bayes:
$[P(reg)=9/10] ^^ [P(irr)=1/10]$
$[P(6T|reg)=1/64] ^^ [P(6T|irr)=1]$
$P(irr|6T)=(P(6T|irr)P(irr))/(P(6T|reg)P(reg)+P(6T|irr)P(irr))=(1/10)/(9/640+1/10)=64/73$
Ringrazio mgrau e @anonymous_0b37e9 per le risposte. Ho solo una perplessità sul procedimento di mgrau, perchè il rapporto tra le due è preso come Ptt/Ptc e non all'inverso? Inoltre non mi rendo conto se è una casualità che il risultato da me ottenuto differisca solo di un punto centesimale con quello calcolato da mgrau e Sergeant (0,88 con 0,87).
"danielem":
Ringrazio mgrau e @anonymous_0b37e9 per le risposte. Ho solo una perplessità sul procedimento di mgrau, perchè il rapporto tra le due è preso come Ptt/Ptc e non all'inverso?
Il procedimento razionale di mgrau è corretto ma il concetto di fondo a cui deve guardare è ciò che ha spiegato Elias.
E' una probabilità condizionata.
"danielem":
Inoltre non mi rendo conto se è una casualità che il risultato da me ottenuto differisca solo di un punto centesimale con quello calcolato da mgrau e Sergeant (0,88 con 0,87).
Confermo, totalmente random
"danielem":
perchè il rapporto tra le due è preso come Ptt/Ptc e non all'inverso?
Una scelta come un'altra...
Grazie per la vostra spiegazione
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