Problema geometrico e circonferenze.
Dopo aver costruito una circonferenza di centro C tangente internamente in A ad una circonferenza di diametro AB lungo 2r,condurre da B le tangenti alla circonferenza di centro C e indicare con M e N i punti di tangenza .Determinare la lunghezza del raggio della circonferenza di centro C in modo che il quadrilatero AMBN risulti un rombo.
Di questo problema riesco a trovare tutti i dati ma non capisco la condizione da imporre.
Un rombo ha i lati congruenti per definizione,dunque pongo
$ bar(AM)=bar(BM) $
purtroppo il problema non viene dopo lunghi calcoli.
Allora penso che la corda $ bar(MN) $ deve appartenere al diametro della circonferenza più grande...in questo modo i lati AM e BM sono congruenti...
Impongo $ bar(MN) $ =2R.
Ma i calcoli vedo che ridiventano lunghi...Non ci siamo...
Cioè secondo me MT deve stare a una certa altezza che però non so come trovare...
Di questo problema riesco a trovare tutti i dati ma non capisco la condizione da imporre.
Un rombo ha i lati congruenti per definizione,dunque pongo
$ bar(AM)=bar(BM) $
purtroppo il problema non viene dopo lunghi calcoli.
Allora penso che la corda $ bar(MN) $ deve appartenere al diametro della circonferenza più grande...in questo modo i lati AM e BM sono congruenti...
Impongo $ bar(MN) $ =2R.
Ma i calcoli vedo che ridiventano lunghi...Non ci siamo...
Cioè secondo me MT deve stare a una certa altezza che però non so come trovare...
Risposte
MMM mi sa che ho capito:
$ bar(OT)=0 $
con T ho indicato l'intersezione di MN con AB.In questo modo impongo che la corda MN appartenga ad un altro diametro della circonferenza più grande.
$ bar(OT)=0 $
con T ho indicato l'intersezione di MN con AB.In questo modo impongo che la corda MN appartenga ad un altro diametro della circonferenza più grande.
Anche voi vedete la mia stessa soluzione??
Si il problema viene.Il ragionamento è giusto.
Proporrei di risolvere così ....
Indico con $x$ il raggio cercato $AC=CM$, con $theta$ l'angolo $BhatCM$: quindi $ChatBM=pi/2-theta$.
Poiché $AM=MB$, $M$ sta sull'asse di $AB$ e quindi $MN$ passa per il centro $O$ del cerchio esterno.
Allora posso scrivere queste tre equazioni:
$AC+CO=r->AC+CMcos(theta)=r->x[1+cos(theta)]=r$,
$CMsin(theta)=OM->xsin(theta)=OM$
e
$(OM)/(OB)=tan(pi/2-theta)->OM=rcot(theta)->OM=rcos(theta)/sin(theta)$.
Eliminando $OM$ fra la seconda e la terza si ottiene:
$xsin(theta)=rcos(theta)/sin(theta)->xsin^2(theta)=rcos(theta)->x[1-cos^2(theta)]=rcos(theta)$.
Se si ricava $cos(theta)=r/x-1$ dalla prima e si sostituisce in quest'ultima si arriva a
$x[1-(r/x-1)^2]=r(r/x-1)$,
la cui soluzione è
$x=2/3r$.
Indico con $x$ il raggio cercato $AC=CM$, con $theta$ l'angolo $BhatCM$: quindi $ChatBM=pi/2-theta$.
Poiché $AM=MB$, $M$ sta sull'asse di $AB$ e quindi $MN$ passa per il centro $O$ del cerchio esterno.
Allora posso scrivere queste tre equazioni:
$AC+CO=r->AC+CMcos(theta)=r->x[1+cos(theta)]=r$,
$CMsin(theta)=OM->xsin(theta)=OM$
e
$(OM)/(OB)=tan(pi/2-theta)->OM=rcot(theta)->OM=rcos(theta)/sin(theta)$.
Eliminando $OM$ fra la seconda e la terza si ottiene:
$xsin(theta)=rcos(theta)/sin(theta)->xsin^2(theta)=rcos(theta)->x[1-cos^2(theta)]=rcos(theta)$.
Se si ricava $cos(theta)=r/x-1$ dalla prima e si sostituisce in quest'ultima si arriva a
$x[1-(r/x-1)^2]=r(r/x-1)$,
la cui soluzione è
$x=2/3r$.
chiaraotta ti ha già dimostrato che MN passa per O; dai problemi che proponi mi pare però che tu non conosca ancora la trigonometria e quindi non possa capire il resto della soluzione; te ne propongo un'altra. Ponendo anche tu $AC=MC=x$, dalla figura ricavi facilmente i valori di CO e CB in funzione di $r,x$. Ti basta ora applicare il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo CBM.
Oppure anche così ....
Pongo $OM=y$.
Nel triangolo rettangolo $BCM$
$(OM)/(OB)=(OC)/(OM)->y/r=(r-x)/y->y^2=r^2-rx$.
Nel triangolo rettangolo $OCM$
$CM^2=OM^2+OC^2->x^2=y^2+(r-x)^2$.
Sostituendo nella seconda equazione $y^2$ ricavato dalla prima, si ottiene
$x^2=r^2-rx+(r-x)^2->x^2=r^2-rx+r^2-2rx+x^2->3rx=2r^2->x=2/3r$.
Pongo $OM=y$.
Nel triangolo rettangolo $BCM$
$(OM)/(OB)=(OC)/(OM)->y/r=(r-x)/y->y^2=r^2-rx$.
Nel triangolo rettangolo $OCM$
$CM^2=OM^2+OC^2->x^2=y^2+(r-x)^2$.
Sostituendo nella seconda equazione $y^2$ ricavato dalla prima, si ottiene
$x^2=r^2-rx+(r-x)^2->x^2=r^2-rx+r^2-2rx+x^2->3rx=2r^2->x=2/3r$.
ok ragazzi grazie delle soluzioni!
Ragazzi ma la mia soluzione è giusta????
$ bar(OT)=0 $
Vedo che viene...
Ragazzi ma la mia soluzione è giusta????
$ bar(OT)=0 $
Vedo che viene...
Certo, OT=0: è conseguenza del fatto che MN passa per O. Non basta però a risolvere il problema.
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