Problema geometrico con punto interno a una circonferenza

Marco241
In una circonferenza due corde AB e CD si incontrano in un punto E che dista a dal centro della circonferenza .Determinare il raggio della circonferenza in modo che il prodotto delle due parti in cui una delle due corde viene divisa dal punto E sia uguale a ka^2

SVOLGIMENTO:

Sicuramente la condizione è $ X>=0 $.Il problema è che E è un qualunque punto interno a una circonferenza...Adesso la distanza tra E ed O la posso interpretare come la distanza di E da un diametro passante per il centro della circonferenza...Supponiamo che il diametro abbia per estremo il punto D della corda CD...Potrei ricavare DE perchè DOE sarebbe un triangolo rettangolo...Tuttavia ciò non è detto perchè le due corde AB e CD possono assumere qualsiasi posizione all'interno della circonferenza...

MMM però ragionando un pò di più...per O passano infiniti diametri...Quindi volendo posso prendere quello che ha estremo in D ed è perpendicolare a OE ...Ma ammesso che sia vero come trovo CE?Ho già applicato il teorema delle due corde ma mi è difficile impostare l'equazione in x:

$ bar(DE)*bar(CE)=k*a^2 $.

Consigli?

Risposte
giammaria2
Traccia il diametro passante per E ed applica ad esso il teorema delle due corde.

Marco241
Bene Giammaria a me l'equazione risolvente viene:


$ x^2=k*a^2+a^2 $

con

$ x>=0 $

Adesso mi vengono due soluzioni

$ K>=-1 $

e

$ K<=-1 $

il libro da come soluzione

$ K>=0 $

sicuramente per valori inferiori a -1 non ci sono soluzioni reali

però perchè prendere da zero in poi? Ad esempio -1/3 ammette un raggio esistente in R.

A me CE viene:

$ bar(CE)=(x^2-a^2)/(sqrt(x^2+a^2)) $

infatti chiamando $ bar(GF) $ il diametro passante per E ottengo:

1) $ bar(EF)=x-a $

2) $ bar(DE)=sqrt(x^2+a^2) $

3)$ bar(GE)=x+a $

giammaria2
Quante complicazioni inutili! $ka^2$ è il prodotto di due segmenti quindi non è certo negativo; ne consegue $k>=0$ e perciò ci sono sempre soluzioni reali.

Marco241
Giammaria tu hai ragione ma dovrebbe venire anche con il metodo algebrico...

giammaria2
Non è detto che la limitazione geometrica coincida sempre con quella algebrica: la seconda potrebbe anche considerare casi diversi da quello in esame. E' quello che succede qui: infatti con $k=-3/4$ ottieni che $a$ è doppio del raggio, quindi E risulta l'incontro non delle corde ma dei loro prolungamenti ed è il teorema delle due secanti.
Contesto inoltre il tuo $DE=sqrt(x^2+a^2)$: da dove spunta? Nessun dato permette di dire quale sia CD fra tutte le infinite corde passanti per E e non riesco neanche ad immaginare per quale particolare corda potrebbe valere quella formula.

Marco241
Perchè per calcolare DE ho considerato la corda CD e il diametro che ha un estremo in D e l'altro estremo è simmetrico rispetto ad O .Cosi la distanza tra E ed O è la distanza tra E e un punto (in questo caso O) appartenente alla retta contenente il diametro.Il triangolo EOD è retto.Quindi applicanto il teorema diretto di Pitagora ottengo DE.

giammaria2
Comincia a tracciare una corda CD: E può essere un suo punto qualsiasi e non c'è nessuna garanzia che l'angolo $D \hat O E$ sia retto. Oppure, se preferisci, traccia il diametro perpendicolare ad EO: solo in caso particolare D è un suo estremo. Al massimo puoi dire che, poichè il prodotto è lo stesso qualunque sia la corda,tu consideri la corda per cui capita quel caso; devi però dirlo.

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