Problema geometrico con equazioni parametriche

[Themirhaccio]

Circoscrivere ad una SEMIcirconferenza di diametro AB = 2r un trapezio isoscele con la base maggiore sulla retta del diametro in modo che la somma dei quadrati costruiti su una diagonale e su un lato obliquo sia uguale a $ kr^2 $

c'è anche un piccolo suggerimento:

posta la base minore pari a 2x si ha $ 5x^4-2r^2(k-3)x^2+r^4=0 $ con $ 0< x<= r $

Premesso che non ho cercato di seguire il suggerimento, ho ragionato in questo modo:

1)ho disegnato la semicirconferenza di centro O e di diametro 2r con il diametro orizzontale con A a sinistra B a destra
2)partendo dal vertice in alto a destra il trapezio isoscele CDST
3) H è la proiezione di C sul segmento OB
4) K è la proiezione di O sul segmento CT

Svolgimento mio:
1) posto HT = x, visto che CH è uguale al raggio della semicirconferenza posso calcolarmi CT = $ sqrt(x^2+r^2)=sqrt(HT^2+CH^2) $ e quindi il quadrato del lato obliquo è a posto
2) i triangoli CHT e OKT sono uguali, si può dimostrare. Segue quindi che OT = CT
3) OH sarà la differenza tra OT ed HT quindi $ sqrt(x^2+r^2) -x $
4)per calcolare il quadrato della diagonale CS è sufficiente fare $ (SO+OH)^2+HC^2 =(OT+OH)^2+ HC^2 = (CT+OH)^2+HC^2 $ perchè SO = OT = CT

posso scrivere l'equazione risolvente etc etc...ma salta fuori un'equazione parametrica irrazionale, per carità risolvibilissima, ma prima di avventurarmi avevo qualche perplessità
1) per le limitazione da dare ad x avevo pensato x maggiore di 0 e basta, perchè man mano che x aumentail segmento HT va all'infinito ed trapezio isoscele diventa sempre più schiacciato, è corretto?
2) se avessi seguito il metodo suggerito dal testo, come avrei dovuto fare che non riesco a risolverlo in quel modo?

Grazie!

[giammaria2]

Ho avuto qualche difficoltà di interpretazione perché pensavo a lettere disposte diveramente; per chi legge, preciso che la base minore è CD. Veniamo a noi.
La tua scelta di incognita mi piace poco perché uno dei criteri per sceglierla è che conoscendola si possa fare la figura senza difficoltà, e non è il tuo caso. A parte questo, la tua soluzione è giusta e mi pare che vada bene anche la limitazione che indichi; anche il fatto che susciti ragionevoli perplessità dice che sarebbe stato meglio scegliere un'altra incognita.
Col metodo sugerito dal testo ed utilizzando la tua affermazione 2, poni $OT=CT=y$; osservando il triangolo CHT hai
$CH^2+HT^2=CT^2$
$r^2+(y-x)^2=y^2$
da cui ricavi facilmente $y=(x^2+r^2)/(2x)$
Non ti è ora difficile completare.