Problema geometrico 5

[Marco241]

In una circonferenza di raggio r è inscritto il triangolo ABC;si sa che la misura del lato AB è $ r*sqrt(2) $ e che il rapporto tra i lati AC e CB è $ (3*sqrt(2) + sqrt(6))/6 $ .Determinare le lunghezze dei lati AC e CB.Indicato con M il punto medio dell'arco minore BC ,dimostrare che la retta CM è perpendicolare in D alla tangente alla circonferenza condotta per B e che il triangolo CDB è isoscele.

Ragiono in questo modo:

pongo $ AC=(3*sqrt(2)+sqrt(6))/6*BC $

poichè un lato è $ r*sqrt(2) $ vuol dire che è la diagonale di un triangolo rettangolo isoscele.Dunque i due lati sono il raggio della circonferenza e si incontrano ad angolo retto.

Unendo il centro O con i vertici A,B,C ottengo tre triangoli isosceli.Gli angoli al centro della circonferenza sono uno di 90 gradi e degli altri due conosco la loro somma che è 270.

Adesso mi viene in mente di calcolare l'area di questi tre triangoli.L'area del triangolo AOB è r^2,per gli altri due triangoli che chiamo AOC e BOC,mi calcolo le altezze OH per AOC e OK per BOC.Dopodichè mi calcolo le due aree.

Dalla somma delle aree dei tre triangoli mi trovo l'area del triangolo ABC.

Calcolata l'area di ABC mi trovo l'altezza di ABC rispetto alla base AB(l'altezza di ABC la chiamo CT).Infine applico Pitagora al triangolo CTB e mi ricavo un espressione dove posso calcolare l'incognita BC.

La fregatura però è che mi vengono dei calcoli lunghi...Sapete trovare una strada più semplice?Sempre se c'è...

[MaMo2]

Per semplificare un po' i calcoli ti conviene porre l'angolo BOC = 2x.
L'angolo AOC sarà 270°- 2x e la relazione tra i due lati diventa:

$2rsin(135°-x)=(3sqrt2+sqrt6)/6(2rsinx)$