Problema geometrico 2

[Marco241]

C'è un esercizio che mi viene solo che un valore non coincide con un caso limite.

Cominciamo:

Un quadrilatero ABCD è costituito dal triangolo rettangolo isoscele ABC di ipotenusa $ bar(BC) = L*sqrt(2) $ e dal triangolo BCD rettangolo in B e avente l'angolo $ hat(BCD) $ = 60 GRADI. Condurre una parallela ad $ AB $ che incontri $ AC $ in $ M $ e $ BD $ in $ N $ in modo che il perimetro del quadrilatero $ MCDN $ sia uguale a $ (K+2)*L $

La soluzione è la seguente:

$ K in [sqrt(2)*(1+sqrt(3));sqrt(2)*(2+sqrt(3))] $

SVOLGIMENTO:

per essere più sintetico riporto solo i casi limite che mi sono venuti ponendo $ CM=X $

CASI LIMITE:

$ 0<=X<=L $

$4*sqrt(2)-2<=K<=sqrt(2)*(2+sqrt(3)) $

Alla fine dei calcoli mi viene il risultato del libro.Però ho un dubbio:i casi limite non devono sempre coincidere con i valori finali?Il primo estremo del caso limite non coincide con il primo estremo del risultato finale.

Insomma alla fine credo di aver ragionato giusto.Caso mai dopo posto tutto il procedimento.

Saluti.

[chiaraotta1]

Io, sempre ponendo $CM=x$, trovo che il perimetro è $P_(MCDN) = L(2+sqrt(2)+sqrt(6))+sqrt(2)x$ e quindi l'equazione è $L(2+sqrt(2)+sqrt(6))+sqrt(2)x=(k+2)L$.
Per i limiti trovo $0<=x<=L$ e $sqrt(2)*(1+sqrt(3))<=k<=sqrt(2)*(2+sqrt(3))$.

[Marco241]

Ascolta Chiarotta confrontiamo i dati:

Se $ C -= M -=T $ e $ N -= D $

$ bar(CM)=0 $

$ bar(CD)=2*L*sqrt(2) $

$ bar(DN)=0 $

$ bar(MN)-=bar(CD)=2*L*sqrt(2) $

Insomma dove sbaglio?

Nel mio disegno la base AB del triangolo sta sotto e C sta "sopra"

[Marco241]

Mi sa che ho capito dov'è l'errore:ho scambiato le lettere C e D e viceversa.Dopo riprovo.

No adesso edito:Come hai fatto la figura?La puoi postare?

[Marco241]

Secondo edit:Mi sa che l'errore non sta nella figura ma nel non aver calcolato i valori di alcuni segmenti del perimetro.

Se la figura era sbagliata il problema non mi veniva.Dovevo trovare prima tutti i valori del perimetro e poi fare la discussione.

[chiaraotta1]

http://img231.imageshack.us/img231/8585/problema3s.png

Con riferimento alla figura e alla richiesta di calcolare il perimetro del quadrilatero $MCDN$, $P_(MCDN)$, noto che:
$BC=Lsqrt(2)$,
$CD=2BC=2Lsqrt(2)$,
$BD=BCsqrt(3)=Lsqrt(6)$
e inoltre che
$NM =NP+PM$,
$DN=BD-NB$.

Quindi il perimetro
$P_(MCDN)=MC+CD+DN+NM=MC+CD+BD-NB+NP+PM$.
In questa espressione $CD$ e $BD$ sono costanti e le altre lunghezze dipendono dalla posizione di $M$ su $AC$.

Posto $MC=x$, con $0<=x<=L$, trovo che:
$MA=L-x$,
$PM=x$,
$NB=PB=MAsqrt(2)=(L-x)sqrt(2)$,
$NP=PBsqrt(2)=MAsqrt(2)sqrt(2)=2MA=2(L-x)$.

Perciò
$P_(MCDN)=MC+CD+BD-NB+NP+PM=x+2Lsqrt(2)+Lsqrt(6)-(L-x)sqrt(2)+2(L-x)+x=sqrt(2)x+L(2+sqrt(2)+sqrt(6))$
e l'equazione
$P_(MCDN)=(k+2)L$
diventa
$sqrt(2)x+L(2+sqrt(2)+sqrt(6))=(k+2)L$.

Per i casi limite:
se $M-=C->x=0$, si ha $L(2+sqrt(2)+sqrt(6))=(k+2)L->k=sqrt(2)+sqrt(6)=sqrt(2)(1+sqrt(3))$;
se $M-=A->x=L$, si ha $L(sqrt(2)+2+sqrt(2)+sqrt(6))=(k+2)L->k=2sqrt(2)+sqrt(6)=sqrt(2)(2+sqrt(3))$.
Dunque con $0<=x<=L$ si ha $sqrt(2)*(1+sqrt(3))<=k<=sqrt(2)*(2+sqrt(3))$.

[Marco241]

No perfetto Chiarotta:la figura che ho fatto è giusta.Aspetta che prendo il quaderno e confronto la soluzione con la tua.

Secondo EDIT:Chiarotta i tuoi calcoli confrontati con i miei sono giusti.Dovevo prima trovare tutti i valori dei segmenti che compongono il perimetro,esprimerli nella variabile X e poi calcolare i casi limite. Poi la figura è giusta e i ragionamenti pure.

[Marco241]

POI OVVIAMENTE:GRAZIE PER LA TUA PAZIENZA NELLO SCRIVERE IL MESSAGGIO