Problema geometrico 110
Ecco un problema che purtroppo non riesco a risolvere.Per rispetto al regolamento del forum riporterò tutti i ragionamenti da me effettuati.Piccola premessa:da risolvere con conoscenze da terzo liceo scientifico.
Testo:
Dato un triangolo rettangolo di cateti $ bar(AB)=4a $ e $ bar(AC)=3a $ ,determinare un punto P sul prolungamento di AB oltre B in modo che,detta Q la proiezione ortogonale di P sulla perpendicolare in B all'ipotenusa BC,si abbia
$ 25/9*bar(BQ)^2+k*bar(PC)^2=25/144*bar(AH)^2 $ .
Essendo $ bar(AH) $ l'altezza relativa all'ipotenusa $ bar(BC) $ .
SVOLGIMENTO:
nel mio disegno il triangolo ABC è retto in A ,AB è la base e AC è l'altezza,BC è l'ipotenusa.
Indico con T l'intersezione di CP con BQ.
Parto subito dicendovi che ho difficoltà a trovare $ bar(BQ) $ .
AH si trova tranquillamente .Posto $ bar(PB) =x$ mi ricavo $ bar(CP) $ con il teorema di Pitagora. $ X>=0 $
Subito noto due triangoli simili...BCT e QTP.Di BCT conosco solo BC mentre di QTP non conosco nessun lato...
Subito ho buttato giù queste idee:
1)Ricavare BQ direttamente dalla relazione fornita dal problema.
MMM...Però dopo non ho una relazione per ricavare la x.
2)Introdurre ua seconda variabile.
Ad esempio $ bar(BT)=y $ .Ma dopo vedo che i calcoli si vanno a complicare e non so fino a che punto conviene.
3)Considerare il triangolo BCP.
Di questo triangolo conosco i tre lati.Posso ricavarmi l'area con Erone ma sicuramente i calcoli si allungherebbero...E poi a cosa servirebbe?
4)Considerare gli angoli.
...Che dire?
Considerazioni finali:
secondo me la chiave per risolvere il problema è introdurre un altra variabile e sfruttare la similitudine dei triangoli CTB e QTP...Ma niente non ci riesco...Consigli?
Testo:
Dato un triangolo rettangolo di cateti $ bar(AB)=4a $ e $ bar(AC)=3a $ ,determinare un punto P sul prolungamento di AB oltre B in modo che,detta Q la proiezione ortogonale di P sulla perpendicolare in B all'ipotenusa BC,si abbia
$ 25/9*bar(BQ)^2+k*bar(PC)^2=25/144*bar(AH)^2 $ .
Essendo $ bar(AH) $ l'altezza relativa all'ipotenusa $ bar(BC) $ .
SVOLGIMENTO:
nel mio disegno il triangolo ABC è retto in A ,AB è la base e AC è l'altezza,BC è l'ipotenusa.
Indico con T l'intersezione di CP con BQ.
Parto subito dicendovi che ho difficoltà a trovare $ bar(BQ) $ .
AH si trova tranquillamente .Posto $ bar(PB) =x$ mi ricavo $ bar(CP) $ con il teorema di Pitagora. $ X>=0 $
Subito noto due triangoli simili...BCT e QTP.Di BCT conosco solo BC mentre di QTP non conosco nessun lato...
Subito ho buttato giù queste idee:
1)Ricavare BQ direttamente dalla relazione fornita dal problema.
MMM...Però dopo non ho una relazione per ricavare la x.
2)Introdurre ua seconda variabile.
Ad esempio $ bar(BT)=y $ .Ma dopo vedo che i calcoli si vanno a complicare e non so fino a che punto conviene.
3)Considerare il triangolo BCP.
Di questo triangolo conosco i tre lati.Posso ricavarmi l'area con Erone ma sicuramente i calcoli si allungherebbero...E poi a cosa servirebbe?
4)Considerare gli angoli.
...Che dire?
Considerazioni finali:
secondo me la chiave per risolvere il problema è introdurre un altra variabile e sfruttare la similitudine dei triangoli CTB e QTP...Ma niente non ci riesco...Consigli?
Risposte
Osserva che il triangolo BPQ è simile al triangolo ABC perché $hat(ABC)=hat(BPQ)$ dato che sono corrispondenti delle due parallele AB e PQ, tagliate dalla trasversale AP.
Grazie Melia ,adesso controllo mi sa che viene...
Ok Melia il problema viene.Ne ho risolto poi un altro simile dove ho fatto la stessa svista^__^.
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