Problema geometria piana

[HowardRoark]

Testo: Un triangolo isoscele ha base $ AB $ e altezza $ CH $, con $ AB + CH = 80 $ e $ AB > CH $; l'area è di $ 768 cm^2 $

I) Trova il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo

II) Considera $ P $ su $ HB $ e traccia la perpendicolare $ PK $ a $ CB $. Determina per quale posizione di $ P $ il triangolo $ PKB$ ha area uguale a $ 192 cm^2 $


- Il primo quesito l'ho risolto.

- Al secondo quesito, la mia idea era quella di sfruttare la relazioni $ (PK * BK)/2 = 192 $ e la similitudine tra $PKB$ e $ CBH $, e quindi di porre il sistema con le due equazioni $(BK * PK)/2 = 192$ e $ (PK)/32 = (BK)/24$.

32 Rappresenta l'altezza del triangolo isoscele $ ABC $; poiché nel triangolo isoscele altezza è anche mediana e $ AB= 48 $, 24 rappresenta il cateto $ HB $ di $ CBH $.

Risolvendo il sistema, mi viene $PK>PB$ ($PB$ dovrebbe essere 20), ma $PB$ è ipotenusa di $PBK$, quindi c'è qualcosa che non va.

Dove sbaglio?

[teorema55]

Alla proporzione ottenuta dalla similitudine applicherei la regola del comporre:

$a:b=c:d -> (a+b):b=(c+d):d$

In questo modo, detto per esempio $BP=x$, trovi due relazioni che legano $x$ ai lati dei triangoli, ed una terza relazione data dalla misura dell'area di $BPK$

E' un po' laborioso, ma funziona.

Ciao.

Marco

[HowardRoark]

"teorema55":Alla proporzione ottenuta dalla similitudine applicherei la regola del comporre:

$a:b=c:d -> (a+b):b=(c+d):d$

In questo modo, detto per esempio $BP=x$, trovi due relazioni che legano $x$ ai lati dei triangoli, ed una terza relazione data dalla misura dell'area di $BPK$

E' un po' laborioso, ma funziona.

Ciao.

Marco

Grazie, ma il tuo metodo credo sia, nella pratica, speculare al mio: mi viene sempre $ PK= 16 * sqrt(2)$ e $BK = 12*sqrt(2)$


Probabilmente c'è un errore nel testo, e $ PB $ non dovrebbe essere 20 bensì $ 20 * sqrt(2) $

[teorema55]

Uhm...............e nel triangolo rettangolo BPK, non ti pare che l'area sia proprio

$A=(PK*BK)/2=(16sqrt(2)*12sqrt(2))/2=192$ ??

Il fatto che i cateti sembrino più lunghi dell'ipotenusa dipende dalla posizione di P: è a sinistra di H, non a destra! Infatti (Pitagora)

$BP^2=BK^2 + PK^2 -> x^2=(16sqrt(2))^2 + (12sqrt(2))^2=512+288=800 -> x=sqrt(800)=20sqrt(2)$