Problema geometria maturita 1990

[Claudia.Pereira]

Mi sto esercitanto per la secnda prova di matematica e ho molta difficoltà in geometria. in particolare Non riesco a risolvere il problema della sessione ordinaria del 1990:
Determinare il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta di equazione y=37/12 e passanti per a(0;19/12) e il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2+4x+4y-8=0 e passanti per B(2;2). rappresentare i luoghi e trovare i loro punti comuni.


Non saprei proprio da dove partire. Qual'è l'incognita? per "luogo dei centri delle circonferenze" cosa s'intende?

[BIT5]

Abbiamo una circonferenza generica:

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Che passa per il punto

[math] A (0; \frac{19}{12} )[/math]

E quindi (condizione di appartenenza)

[math]0^2+ \left( \frac{19}{12} \right)^2+a \cdot 0 + b \frac{19}{12}+c=0[/math]

ovvero

[math] \frac{361}{144}+ \frac{19}{12}b+c=0[/math]

Da cui

[math]c=- \frac{19}{2}b[/math]

Inoltre sappiamo che le circonferenze sono TUTTE tangenti alla retta data.
Se la circonferenza è tangente significa che la distanza tra la retta e il centro della circonferenza è uguale al raggio..

il raggio della circonferenza si trova come:

[math]r= \sqrt{ \left( - \frac{a}{2} \right)^2+ \left( - \frac{b}{2} \right)^2 - c}[/math]

Mentre la distanza tra un punto (il centro) e la retta (scritta in forma implicita) si trova come

[math]\frac{|ax_0+by_0+c|}{ \sqrt{a^2+b^2}}[/math]

Nel nostro caso la retta, in forma implicita, è

[math]y- \frac{37}{12}=0[/math]

Con a=0, b=1

Quindi la distanza tra il centro generico della circonferenza e la retta, considerato che

[math]x_c= - \frac{a}{2} \\ y_c=- \frac{b}{2}[/math]

sarà

[math]\frac{| - \frac{b}{2}- \frac{37}{12}|}{ \sqrt{1^2}}[/math]

Che eguagliata alla formula del raggio, elevati entrambi i membri al quadrato, sostituendo a c il valore in funzione di b trovato di sopra, ci darà anche a in funzione di b.

Avremo così un fascio di circonferenze in funzione di b.
Anche la x e la y del centro dipenderanno da b, pertanto avremo una relazione tra la x del centro e la y del centro.
Riportare i calcoli qui, è lunghissimo.

Prova a trovare l'equazione del fascio di circonferenze e a scriverlo qui.
Così ti posto il luogo dei centri (se non riesci...)