Problema geometria analitica per domani !!!!

[elbarto1993]

Di un quadrato ABCD si conoscono i vertici A(-1;4) e B(1;1). Determinare i vertici C e D.

[PrInCeSs Of MuSiC]

Ti dico il procedimento, così ci provi da solo.
Calcoli l'equazione della retta AB e BC.
Poni AB = BC
A questo punto poi trovi i vertici C e D mettendo a sistema l'equazione retta e così trovi la misura.
A me i vertici vengono C(-2,-1) e D(-4,2)
Prova a svolgere l'esericizio ;)

[elbarto1993]

l'equazione di BC come la calcolo ?

[PrInCeSs Of MuSiC]

Sostituisci all'equazione generale della retta i punti x e y, no?

[mark930]

visto che AB=BC ti basta calcolare la retta AB con la seguente formula:

[math]\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}[/math]

[PrInCeSs Of MuSiC]

# mark930 :
visto che AB=BC ti basta calcolare la retta AB con la seguente formula:

[math]\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}[/math]

E' quel che gli ho detto di fare.
Ma comunque il problema chiede i vertici.

[elbarto1993]

ho trovato la retta a cui appartiene AB: 3x+2y-1=0

[PrInCeSs Of MuSiC]

Ora trovi la retta BC e poni AB = BC.

[elbarto1993]

al posto di x e y metto nell'equazione le coordinate di B?

[PrInCeSs Of MuSiC]

Aspetta, non mi sono accorta di un errore: l'equazione di AB è

[math]3x + 2y -5 = 0[/math]

Controlla di nuovo la formula.

[elbarto1993]

sisi hai ragione...avevo sbagliato nella moltiplicazione...

[PrInCeSs Of MuSiC]

:) Ok, bene.
Scusami se non mi sono accorta prima :S

[elbarto1993]

no figurati, anzi scusa tu se ci sto mettendo tanto a capire...cmq ora sostituisco nell'equazione a x e y le coordinate di B ?

[PrInCeSs Of MuSiC]

Rifletti tesoro :)
Se AB=BC allora le due equazioni della retta saranno uguali ;)
Di conseguenza se metti a sistema l'equazione della retta AB, insieme al valore y=4 del punto A, otterrai la x del punto C.
Successivamente poi, metti a sistema la x trovata con l'equazione di AB e il gioco è fatto ;)

[mark930]

# PrInCeSs Of MuSiC :
Rifletti tesoro :)
Se AB=BC allora le due equazioni della retta saranno uguali ;)
Di conseguenza se metti a sistema l'equazione della retta AB, insieme al valore y=4 del punto A, otterrai la x del punto C.
Successivamente poi, metti a sistema la x trovata con l'equazione di AB e il gioco è fatto ;)

se i lati AB e BC sono uguali, non è detto che stanno sulla stessa retta, anzi sicuramente non è così, perchè è un quadrato

[elbarto1993]

mi viene x=-1 e y=2 e non coincidono con le soluzioni del libro

[PrInCeSs Of MuSiC]

Mamma mia, comincio ad odiare la geometria analitica.
Ho ricontrollato i calcoli e ha ragione mark.. ho sbagliato T_T
Ma a questo punto come fare?

[elbarto1993]

# mark930 :
se i lati AB e BC sono uguali, non è detto che stanno sulla stessa retta, anzi sicuramente non è così, perchè è un quadrato

...ok non per fare il rompiscatole, ma come si fa l'esercizio quindi ?

[BIT5]

# elbarto1993 :
Di un quadrato ABCD si conoscono i vertici A(-1;4) e B(1;1). Determinare i vertici C e D.

dunque:

Sai che A e B sono i vertici del quadrato.

Non e' specificato se i vertici sono consecutivi, pero'.

Se i vertici sono consecutivi, e' naturale che esistano due quadrati che hanno come vertici A e B: infatti puoi costruire il quadrato sia da una parte che dall'altra del segmento AB

La distanza tra A e B e'

[math] \bar{AB}= \sqrt{(-1-1)^2+(4-1)^2}= \sqrt{4+9}= \sqrt{13} [/math]

Quindi il lato del quadrato e' lungo

[math] \sqrt{13} [/math]

A questo punto, trovata la retta passante per AB, trovi la retta perpendicolare ad essa e passante per A.

A questo punto poni che un punto generico di questa retta sia distante radice13 da A (e ne trovi 2).

Analogamente, dalla retta perpendicolare ad AB e passante per B, trovi gli altri due punti che completano il quadrato.

Se invece A e B sono i vertici opposti, allora puoi procedere in due modi:

per via "logica", trovi automaticamente che i punti mancanti sono (1,4) e (-1,1).

oppure tracciata la diagonale AB ne ricavi la lunghezza.
Dal punto medio tra A e B tracci la perpendicolare ad AB e trovi i due punti appartenenti alla perpendicolare ed equidistanti dal punto medio tanto quanto A e B distano da esso.

[roccona]

mmmm

Aggiunto 3 secondi più tardi:

mmmm

[rossiandrea]

Il problema si può risolvere in un modo più semplice.
Per prima cosa bisogna rendersi conto che dati 2 punti si possono costruire 2 quadrati: uno per ciascun semipiano che parte dalla retta passante per A e B.
Per seconda cosa si nota che in un quadrato la differenza delle ordinate tra A e B è uguale alla differenza delle ascisse tra B e C. Stesso ragionamento per l'altro punto.
In pratica il primo sistema serve per trovare C ed è:

[math]
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{1}
y_A-y_B=x_C-x_B\\
x_B-x_A=y_C-y_B
\end{array}
\right.
\end{equation*}
[/math]

[math]
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{1}
x_C=x_B+y_A-y_B\\
y_C=x_B-x_A+y_B\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
[/math]

[math]
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{1}
x_C=1+4-1=4\\
y_C=1+1+1=3\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
[/math]

Nota: si può usare anche

[math]\begin{equation}
\begin{cases}
y_A-y_B=x_B-x_C\\
x_B-x_A=y_B-y_C\\
\end{cases}
\end{equation}
[/math]

a seconda di quale dei due quadrati si vuole trovare.
Il secondo sistema è dato dalle equazioni:

[math]\begin{equation}
\begin{cases}
y_A-y_B=x_D-x_A\\
x_B-x_A=y_D-y_A\\
\end{cases}
\end{equation}
[/math]

o, nel secondo caso:

[math]\begin{equation}
\begin{cases}
y_A-y_B=x_A-x_D\\
x_B-x_A=y_A-y_D\\
\end{cases}
\end{equation}
[/math]

I risultati a me vengono

[math]C=(3;4)[/math]

e

[math]D=(2;6)[/math]

oppure

[math]C=(-2;-1)[/math]

e

[math]D=(-4;2)[/math]

Spero possa essere d'aiuto per qualcuno. Ciao! :-)