Problema geometria analitica ellisse e parabola...
Oggi ho fatto il compito in classe di geometria analitica ma credo sia andato molto male e volevo sapere quale fosse la corretta esecuzione dei tre esercizi che credo sia andati male:
1) Determinare centro,fuochi,vertici ed equazione degli assi dell'ellisse: $4x^2 + y^2 - 8x + 6y -3 = 0$
2) Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x con vertice $V (0;2)$ e passante per $A ( -1;-1 )$
3) data la parabola $x= -y^2 + 4y - 5$ scrivere le tangenti nel punto $P (2;1)$ . Trovare i punti di tangenza e l'equazione della retta passante per tali punti.
Grazie in anticipo per le risposte! E' da ore che mi sto scervellando...
1) Determinare centro,fuochi,vertici ed equazione degli assi dell'ellisse: $4x^2 + y^2 - 8x + 6y -3 = 0$
2) Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x con vertice $V (0;2)$ e passante per $A ( -1;-1 )$
3) data la parabola $x= -y^2 + 4y - 5$ scrivere le tangenti nel punto $P (2;1)$ . Trovare i punti di tangenza e l'equazione della retta passante per tali punti.
Grazie in anticipo per le risposte! E' da ore che mi sto scervellando...
Risposte
Svolgo il primo esercizio, scrivendo diversamente l'equazione data.
$4(x^2-2x)+(y^2+6y)-3=0$
$4[(x-1)^2-1]+(y+3)^2-9-3=0$
$4(x-1)^2+(y+3)^2=16$
$(x-1)^2/4+(y+3)^2/16=1$
equazione canonica di un'ellisse traslata con centro in $C(1,-3)$, $a=2$, $b=4$ e quindi avente come asse principale la parallela all'asse y. I vertici sono $(3,-3), (-1,-3), (1,1), (1,-7)$. Si ha $c=sqrt(16-4)=sqrt(12)=2 sqrt 3$. quindi i fuochi sono $(1,-3+-2sqrt2)$
Salvo errori di distrazione.
$4(x^2-2x)+(y^2+6y)-3=0$
$4[(x-1)^2-1]+(y+3)^2-9-3=0$
$4(x-1)^2+(y+3)^2=16$
$(x-1)^2/4+(y+3)^2/16=1$
equazione canonica di un'ellisse traslata con centro in $C(1,-3)$, $a=2$, $b=4$ e quindi avente come asse principale la parallela all'asse y. I vertici sono $(3,-3), (-1,-3), (1,1), (1,-7)$. Si ha $c=sqrt(16-4)=sqrt(12)=2 sqrt 3$. quindi i fuochi sono $(1,-3+-2sqrt2)$
Salvo errori di distrazione.
Provo a risolvere il secondo punto:
scrivo una generica parabola di vertice $V(0;2)$
$ x=a(y-2)^2 $
impongo il passaggio per il punto $A(-1;-1)$
quindi trovo a
$ -1=a(-3)^2 $ cioè $ a=-1/9$
quindi l'equazione richiesta è
$ x= -1/9(y-2)^2$
e svolgendo i conti si ottiene
$ x=-1/9*y^2+4/9*y-4/9$
spero di non aver scritto porcate....
scrivo una generica parabola di vertice $V(0;2)$
$ x=a(y-2)^2 $
impongo il passaggio per il punto $A(-1;-1)$
quindi trovo a
$ -1=a(-3)^2 $ cioè $ a=-1/9$
quindi l'equazione richiesta è
$ x= -1/9(y-2)^2$
e svolgendo i conti si ottiene
$ x=-1/9*y^2+4/9*y-4/9$
spero di non aver scritto porcate....
"giammaria":
Svolgo il primo esercizio, scrivendo diversamente l'equazione data.
$4(x^2-2x)+(y^2+6y)-3=0$
$4[(x-1)^2-1]+(y+3)^2-9-3=0$
$4(x-1)^2+(y+3)^2=16$
$(x-1)^2/4+(y+3)^2/16=1$
equazione canonica di un'ellisse traslata con centro in $C(1,-3)$, $a=2$, $b=4$ e quindi avente come asse principale la parallela all'asse y. I vertici sono $(3,-3), (-1,-3), (1,1), (1,-7)$. Si ha $c=sqrt(16-4)=sqrt(12)=2 sqrt 3$. quindi i fuochi sono $(1,-3+-2sqrt2)$
Salvo errori di distrazione.
Grazie mille! Ho capito gli errori del primo sei stato molto chiaro!
"fisicorel":
Provo a risolvere il secondo punto:
scrivo una generica parabola di vertice $V(0;2)$
$ x=a(y-2)^2 $
impongo il passaggio per il punto $A(-1;-1)$
quindi trovo a
$ -1=a(-3)^2 £ cioè $ a=-1/9$
quindi l'equazione richiesta è
$ x= -1/9(y-2)^2$
e svolgendo i conti si ottiene
$ x=-1/9*y^2+4/9*y-4/9$
spero di non aver scritto porcate....
Grazie della risposta ma non credo di aver capito molto...a scuola comunque ce lo facevano risolvere con il sistema di equazioni tra la retta passante per a e le cordinate del vertice ma i risultati mi vengono assurdi...
allora
provo a risolvere il terzo punto:
scrivo una generica retta passante per P(2;1)
$ y-1=m(x-2)$ svolgendo i calcoli ho che $ mx=y-1+2m$
quindi $x=(y-1+2m)/m $
sostituisco la x nell'equazione della parabola
ho che
$(y-1+2m)/m=-y^2+4y-5$ quindi $y-1+2m=-my^2+4my-5m$
da qui
$my^2-(4m-1)y+7m-1=0$
per avere tangenza il delta deve essere uguale a zero
quindi
$(4m-1)^2-4*(7m-1)*m=0$
che è vera per
m=-1/2 e m=1/6
quindi le due rette tangenti sono:
$y=(x+4)/6$ e $ y=(4-x)/2$
per trovare i punti di tangenza metto prima la prima retta e poi la seconda a sistema con la parabola.
Ottengo che i punti di tangenza sono:
per la prima il punto è K(-10;-1) per la seconda retta il punto è H(-2;3)
la retta che passa per questi punti è:
$y=(x+8)/2$
anche qui spero di non aver scritto porcate...
provo a risolvere il terzo punto:
scrivo una generica retta passante per P(2;1)
$ y-1=m(x-2)$ svolgendo i calcoli ho che $ mx=y-1+2m$
quindi $x=(y-1+2m)/m $
sostituisco la x nell'equazione della parabola
ho che
$(y-1+2m)/m=-y^2+4y-5$ quindi $y-1+2m=-my^2+4my-5m$
da qui
$my^2-(4m-1)y+7m-1=0$
per avere tangenza il delta deve essere uguale a zero
quindi
$(4m-1)^2-4*(7m-1)*m=0$
che è vera per
m=-1/2 e m=1/6
quindi le due rette tangenti sono:
$y=(x+4)/6$ e $ y=(4-x)/2$
per trovare i punti di tangenza metto prima la prima retta e poi la seconda a sistema con la parabola.
Ottengo che i punti di tangenza sono:
per la prima il punto è K(-10;-1) per la seconda retta il punto è H(-2;3)
la retta che passa per questi punti è:
$y=(x+8)/2$
anche qui spero di non aver scritto porcate...
"fisicorel":
allora
provo a risolvere il terzo punto:
scrivo una generica retta passante per P(2;1)
$ y-1=m(x-2)$ svolgendo i calcoli ho che $ mx=y-1+2m$
quindi $x=(y-1+2m)/m $
sostituisco la x nell'equazione della parabola
ho che
$(y-1+2m)/m=-y^2+4y-5$ quindi $y-1+2m=-my^2+4my-5m$
da qui
$my^2-(4m-1)y+7m-1=0$
per avere tangenza il delta deve essere uguale a zero
quindi
$(4m-1)^2-4*(7m-1)*m=0$
che è vera per
m=-1/2 e m=1/6
quindi le due rette tangenti sono:
$y=(x+4)/6$ e $ y=(4-x)/2$
per trovare i punti di tangenza metto prima la prima retta e poi la seconda a sistema con la parabola.
Ottengo che i punti di tangenza sono:
per la prima il punto è K(-10;-1) per la seconda retta il punto è H(-2;3)
la retta che passa per questi punti è:
$y=(x+8)/2$
anche qui spero di non aver scritto porcate...
grazie mille! Ora ho capito sia il punto 1 che il 3!
Per il secondo esercizio, il metodo di fisicorel è certo il più rapido; se però non lo capisci puoi anche usare quello che segue: la parabola deve avere equazione del tipo $x=ay^2+by+c$ e soddisfare alle seguenti tre condizioni: 1) passa per V; 2) passa per A; 3) la y del vertice vale 2. Ottengo quindi il sistema
${(0=4a+2b+c),(-1=a-b+c),(-b/(2a)=2):}
Risolvendolo, trovi la soluzione di fisicorel.
${(0=4a+2b+c),(-1=a-b+c),(-b/(2a)=2):}
Risolvendolo, trovi la soluzione di fisicorel.
"giammaria":
Per il secondo esercizio, il metodo di fisicorel è certo il più rapido; se però non lo capisci puoi anche usare quello che segue: la parabola deve avere equazione del tipo $x=ay^2+by+c$ e soddisfare alle seguenti tre condizioni: 1) passa per V; 2) passa per A; 3) la y del vertice vale 2. Ottengo quindi il sistema
${(0=4a+2b+c),(-1=a-b+c),(-b/(2a)=2):}
Risolvendolo, trovi la soluzione di fisicorel.
grazie a tutti e due li ho capiti perfettamente!
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