Problema geometria analitica, area triangolo e rette

[CarlIo1]

Buongiorno a tutti,
sono in difficoltà con un problema di geometria analitica, qualcuno potrebbe darmi una mano?

Un triangolo ABC ha il vertice C sulla retta di equazione 2x - y - 11 = 0, e i vertici A e B di coordinate A(-4;3) e B(-2;5). Determinare le coordinate di C, sapendo che l'area del triangolo è uguale a 3.

Ho proceduto in questo modo: se AB è la base del triangolo, la distanza tra i due punti AB è uguale a 2√2. Calcolo la retta passante per AB con la formula y-yA/yB-yA = x-xA/xB-xA e trovo la retta y=x+7. A questo punto la distanza punto retta tra il generico punto C(xC;yC) e la retta che passa per AB dovrebbe darmi l'altezza del mio triangolo. Giusto? Ma poi svolgendo i calcoli (imponendo base per altezza diviso due uguale a 3) mi vengono le coordinate per due diversi valori di C, mentre a quanto ho capito dal testo dovrebbe essere uno solo, e poi mi vengono numeri bruttissimi. Dove sbaglio?

Grazie mille in anticipo a chiunque possa darmi qualche suggerimento!

[axpgn]

È normale che ti vengano due punti perché puoi costruire il triangolo da una parte o dall'altra di $AB$ mentre per i numeri "bruttissimi" ... cosa gli hai fatto? Poverini
Mostraci i tuoi conti e vediamo cosa c'è che non va (se c'è)

Cordialmente, Alex

[StellaMartensitica]

Il metodo che hai seguito è giusto, ma c'è anche un altro modo abbastanza interessante, e forse anche più rapido per risolvere questo ed altri esercizi: una grande quantità di questi esercizi hanno a che fare con aree di triangoli, e magari ti danno proprio i vertici e ti chiedono soltanto di trovare l'area di triangoli o altre figure (che di fatto sovente è conveniente vedere proprio come composizioni di triangoli). Per trovare l'area allora devi trovare l'equazione di due/tre rette e valutare una distanza, anche se a te serviva solo l'area e nient'altro!

Se avete già fatto i sistemi lineari e il metodo di Cramer a scuola ti saranno stati introdotti in quell'occasione i determinanti. Ecco l'area del triangolo, noti i vertici, è anche esprimibile con un determinante (che secondo me è più facile da calcolare che valutare tre distanze o fare acrobazie calcolotiche sul piano).

In questo caso, per esempio, hai:

$A(-4,3)$
$B(-2,5)$
$C(x,2x-11)$

L'area sarà:
$1/2*|det ((-4,3,1),(-2,5,1),(x,2x-11,1))|$
Il determinare lo puoi calcolare con la regola di Sarrus, per esempio, in questo caso hai:

$Area=1/2*|det ((-4,3,1),(-2,5,1),(x,2x-11,1))|=3$

$Area=1/2*|-20+3x-4x+22+6+8x-44-5x|=3$

$|-20+3x-4x+22+6+8x-44-5x|=6$

$|2x-36|=6$

$|x-18|=3$

Lascio concludere a te.

Se non hai ancora fatto i sistemi lineari e/o il metodo di Cramer ignora questo messaggio, ciao.