Problema geometria analitica
Ciao, stavolta ho bisogno di aiuto per un'amica.
Non riesce a risolvere questo problema di geometria analitica, o meglio non le risulta. Io non ho idea di come fare, finora ho studiato solo i sistemi di primo grado
ci date una mano per favore?
Determina l'equazione della retta con coefficiente angolare $m=2$ che stacca sull'ellisse $ 4x^2 + y^2 = 4$ una corda di misura $ sqrt5/2 (sqrt3 + 1).
I risultati del libro sono $y= 2x-sqrt3+1$ e $y= 2x+sqrt3-1$
Questo è il suo procedimento:
sistema tra l'equazione generale della retta con coefficiente angolare 2 e l'equazione dell'ellisse per ottenere i due punti di intersezione C e D
1) $ y=2x+q
2) $4x^2 + y^2 = 4
applicando il metodo della sostituzione la 2) viene : $8x^2+4qx+q^2-4=0
risolvendo il sistema ottiene quattro risultati
$x_(C)=(-q+sqrt(8-q^2))/4$ e $x_(D)=(-q-sqrt(8-q^2))/4$
$y_(C)=(q+sqrt(8-q^2))/2$ e $y_(D)=(q-sqrt(8-q^2))/2$
il tutto con la condizione $q^2>8
poi impone che il segmento CD sia uguale a $ sqrt5/2 (sqrt3 + 1)
CD = $sqrt(((-q-sqrt(8-q^2))/4 - (-q+sqrt(8-q^2))/4)^2 + ((q-sqrt(8-q^2))/2 - (q+sqrt(8-q^2))/2)^2) = sqrt((40-5q^2)/4)$ quindi:
$sqrt((40-5q^2)/4) = sqrt5/2 (sqrt3 + 1)
risolvendo questa equazione,risulta $q=+- sqrt(4-2sqrt3)$ che però non va bene. O c'è un errore nei calcoli, che non riesce a vedere, oppure ha sbagliato procedimento...
Non riesce a risolvere questo problema di geometria analitica, o meglio non le risulta. Io non ho idea di come fare, finora ho studiato solo i sistemi di primo grado
ci date una mano per favore? Determina l'equazione della retta con coefficiente angolare $m=2$ che stacca sull'ellisse $ 4x^2 + y^2 = 4$ una corda di misura $ sqrt5/2 (sqrt3 + 1).
I risultati del libro sono $y= 2x-sqrt3+1$ e $y= 2x+sqrt3-1$
Questo è il suo procedimento:
sistema tra l'equazione generale della retta con coefficiente angolare 2 e l'equazione dell'ellisse per ottenere i due punti di intersezione C e D
1) $ y=2x+q
2) $4x^2 + y^2 = 4
applicando il metodo della sostituzione la 2) viene : $8x^2+4qx+q^2-4=0
risolvendo il sistema ottiene quattro risultati
$x_(C)=(-q+sqrt(8-q^2))/4$ e $x_(D)=(-q-sqrt(8-q^2))/4$
$y_(C)=(q+sqrt(8-q^2))/2$ e $y_(D)=(q-sqrt(8-q^2))/2$
il tutto con la condizione $q^2>8
poi impone che il segmento CD sia uguale a $ sqrt5/2 (sqrt3 + 1)
CD = $sqrt(((-q-sqrt(8-q^2))/4 - (-q+sqrt(8-q^2))/4)^2 + ((q-sqrt(8-q^2))/2 - (q+sqrt(8-q^2))/2)^2) = sqrt((40-5q^2)/4)$ quindi:
$sqrt((40-5q^2)/4) = sqrt5/2 (sqrt3 + 1)
risolvendo questa equazione,risulta $q=+- sqrt(4-2sqrt3)$ che però non va bene. O c'è un errore nei calcoli, che non riesce a vedere, oppure ha sbagliato procedimento...
Risposte
Invece è giusto, manca solamente l'ultimo passaggio del radicale doppio
risulta $q=±sqrt(4-2(sqrt3)) =±sqrt((sqrt3-1)^2)=±(sqrt3-1)$
Che è proprio il risultato del libro
risulta $q=±sqrt(4-2(sqrt3)) =±sqrt((sqrt3-1)^2)=±(sqrt3-1)$
Che è proprio il risultato del libro
Incredibile quanto spesso tornano utili i radicali doppi 
Li scrivo qui perché sono troppo belli:
$\sqrt{a pm \sqrt{b}} = \sqrt{(a+\sqrt{a^2-b})/2} \pm \sqrt{(a-\sqrt{a^2-b})/2}$
Li scrivo qui perché sono troppo belli:
$\sqrt{a pm \sqrt{b}} = \sqrt{(a+\sqrt{a^2-b})/2} \pm \sqrt{(a-\sqrt{a^2-b})/2}$
"amelia":
Invece è giusto, manca solamente l'ultimo passaggio del radicale doppio
risulta $q=±sqrt(4-2(sqrt3)) =±sqrt((sqrt3-1)^2)=±(sqrt3-1)$
Che è proprio il risultato del libro
Ah! L'errore era proprio nell'applicazione della formula dei radicali doppi, se ne è accorta solo ora...
Grazie mille!
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