Problema geometria analitica

[oleg.fresi]

Ho un problema con un esercizio di geometria analitica che per essere svolto richiede solo la conoscenza della distanza tra due punti e punto medio,quindi non può essere risolto con altri metodi come per esempio il teorema di Talete(in teoria si può ma così si perde lo scopo dell'esercizio.)L'esercizio è questo: calcola le coordinate dei punti del segmento di estremi A(4;4) b(-2;-5) che lo suddividono in tre parti congruenti. Io ho ragionato così : considerando che le tre parti sono congruenti allora un pezzo è 1/3 di tutto e l'altro pezzo è 2/3 di tutto.Ma non ho idea del ragionamento completo che andrebbe fatto,credo per qualche lacuna che ho con le proporzioni.Potreste aiutarmia guidare il ragionamento?Vi ringrazio in anticipo.

[igiul1]

Puoi utilizzare l'equazione della retta per due punti?
Se sì, allora:
1) equaz. retta per i due punti;
2) punto generico di questa retta in funzione di x;
3) distanza di questo punto da ciascun estremo del segmento uguale ad 1/3 del segmento.
Otterrai due equazioni da cui ricavare le coordinate dei punti richiesti.

Senza l'equazione della retta la vedo dura, ma:
1. punto generico P(x,y)
2. distanza $AP=1/3AB$
3.distanza $BP=1/3AB$
4. sistema tra le equazioni dei punti 2 e 3.

[oleg.fresi]

La retta per due punti non la posso usare ma proverò la seconda

[oleg.fresi]

Però ci vorebbero due punti, il solo punto P non basta.

[igiul1]

Scusami, ho commesso un piccolo grande errore prima-
Devi porre $AP=1/3AB$ e $BP=2/3AB$.

Se chiami $A(4;4)$ e $B$ l'altro punto trovi $P(-1/6;1)$ sempre che io non abbia sbagliato qualche calcolo.

L'altro punto lo trovi come punto medio di $BP$

[oleg.fresi]

Mi dispiace, il risultato è $2 ; 1$ e $0 ; -2$

[igiul1]

"igiul":Se chiami $ A(4;4) $ e $ B $ l'altro punto trovi $ P(-1/6;1) $ sempre che io non abbia sbagliato qualche calcolo

Devo notare che non hai provato a risolvere il problema. Le soluzioni sono, effettivamente, quelle che indichi tu, purtroppo nella fretta ho commesso un piccolo errore di trascrizione nel calcolare la $x$ dopo aver trovato la $y$ risolvendo il sistema ottenuto con le due condizioni che ti avevo indicato.

Nota: avevo precisato "sempre che io non abbia sbagliato qualche calcolo":

[@melia]

Il punto P del segmento AB che ha distanza da B doppio di quella da A ha coordinate
$x_P=(2*x_a+x_b)/3$ e $y_p=(2*y_a+y_b)/2$
mentre, viceversa, il punto Q la cui distanza da A è doppia di quella da B ha coordinate
$x_q=(x_a+2*x_b)/3$ e $y_p=(y_a+2*y_b)/2$

[oleg.fresi]

Ho capito e i risultati li dà giusti, ma non ho capito da dove si ricavano le formule.

[teorema55]

La soluzione proposta da Sara è proprio l'applicazione, sul piano cartesiano, del teorema di Talete, procedura che ritengo, per uno studente del livello di oleg, non applicabile.

Meglio il ragionamento di igiul, che tuttavia lascia aperta la strada ad altre, infinite, soluzioni, se non si specifica che i punti devono appartenere alla stessa retta, dalla cui equazione quindi, a mio parere, la soluzione del problema non può prescindere.

Cordialmente e buon Natale a tutti.

Marco.

[igiul1]

"teorema55":La soluzione proposta da Sara è proprio l'applicazione, sul piano cartesiano, del teorema di Talete, procedura che ritengo, per uno studente del livello di oleg, non applicabile.

Meglio il ragionamento di igiul, che tuttavia lascia aperta la strada ad altre, infinite, soluzioni, se non si specifica che i punti devono appartenere alla stessa retta, dalla cui equazione quindi, a mio parere, la soluzione del problema non può prescindere.

Cordialmente e buon Natale a tutti.

Marco.

Spiacente di deluderti ma la soluzione che si ottiene è unica, se non ci credi prova a fare i calcoli. Forse avrei dovuto precisare $-2

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[teorema55]

In effetti la precisazione è superflua. L'importante invece, che permette di non usare l'equazione della retta, è

$AQ+QB=AB$ (e idem con $P$)

oltreché, ovviamente,

$AP=2PB$

e idem con il punto $Q$.

[oleg.fresi]

Perfetto, allora provvederò a ripassare bene il teorema di Talete.Grazie mille per l'aiuto e buone feste.