Problema frazioni unitarie
Ciao a tutti, scusate se vi disturbo ma non riesco a risolvere il seguente problema:
Gli antichi egizi utilizzavano soltanto frazioni unitarie, cioè frazioni aventi il numeratore uguale a $1$. Perciò convertivano ogni frazione nella somma di frazioni unitarie; per esempio $3/4=1/2+1/4, 5/7=1/2+1/7+1/14$. Il numero uno può essere ottenuto come somma di tre frazioni unitarie? In altre parole: è possibile determinare tre numeri naturali $a$, $b$ e $c$ (possiamo supporre $0
Capire che è possibile farlo é semplice: basta fare come esempio $1/2+1/3+1/6=1$. Tuttavia non ho la minima idea di come riuscire a capire quante combinazioni di interi diano questo risultato...
Grazie mille per l'aiuto in anticipo!
Gli antichi egizi utilizzavano soltanto frazioni unitarie, cioè frazioni aventi il numeratore uguale a $1$. Perciò convertivano ogni frazione nella somma di frazioni unitarie; per esempio $3/4=1/2+1/4, 5/7=1/2+1/7+1/14$. Il numero uno può essere ottenuto come somma di tre frazioni unitarie? In altre parole: è possibile determinare tre numeri naturali $a$, $b$ e $c$ (possiamo supporre $0
Capire che è possibile farlo é semplice: basta fare come esempio $1/2+1/3+1/6=1$. Tuttavia non ho la minima idea di come riuscire a capire quante combinazioni di interi diano questo risultato...
Grazie mille per l'aiuto in anticipo!
Risposte
Le combinazioni sono infinite. Infatti, detti
$m,n,x$
tre interi positivi, vogliamo sapere se
$1/m + 1/n + 1/x =1$
$(nx +mx+mn)/(mnx) = (mnx)/(mnx)$
$mnx-mx-nx=mn$
$x=(mn)/(mn-m-n)$
Supponiamo
$m=3$
$n=11$
troviamo dalla soluzione dell'equazione che
$x=(3*11)/(3*11 - 3 - 11)$
$x=33/19$
e, dall'enunciato, troviamo
$1/3 + 1/11 + 1/(33/19)$
$1/3 + 1/11 + 19/33$
$(11+3+19)/33=1$
$m,n,x$
tre interi positivi, vogliamo sapere se
$1/m + 1/n + 1/x =1$
$(nx +mx+mn)/(mnx) = (mnx)/(mnx)$
$mnx-mx-nx=mn$
$x=(mn)/(mn-m-n)$
Supponiamo
$m=3$
$n=11$
troviamo dalla soluzione dell'equazione che
$x=(3*11)/(3*11 - 3 - 11)$
$x=33/19$
e, dall'enunciato, troviamo
$1/3 + 1/11 + 1/(33/19)$
$1/3 + 1/11 + 19/33$
$(11+3+19)/33=1$
"teorema55":
Le combinazioni sono infinite
Credo di sì, ma $19/33$ non è una frazione egizia.
Si può però ridurla, ad esempio:
$ 19/33=1/2+1/22+1/33=1/2+1/14+1/231=1/2+1/15+1/110=.... $
Ciao
ma allora le frazioni unitarie da sommare non sono 3, ma 5.
"orsoulx":
[quote="teorema55"]Le combinazioni sono infinite
Credo di sì, ma $19/33$ non è una frazione egizia.
Si può però ridurla, ad esempio:
$ 19/33=1/2+1/22+1/33=1/2+1/14+1/231=1/2+1/15+1/110=.... $[/quote]
Giusto!
E anche l'appunto di @melia è corretto.
Ciao
"@melia":
non sono 3, ma 5.
Dici bene! Mi ero perso per strada la limitazione.
Ciao
Immagino comunque che sull'infinità delle triplette siamo tutti d'accordo....................
Mah!
Ipotesi: $1/a+1/b+1/c=1$ con $0
Poniamo che sia $a>2$ (abbiamo già visto che con $a=2$ funziona ...), per esempio $3$ (che è il minimo possibile): avremo $1-1/3=2/3=1/b+1/c$ ... ora deve essere $b>3$ (per ipotesi), quindi come minimo $b=4$ e di conseguenza sarà $2/3-1/4=5/12$ che è già ridotta ai minimi termini (e comunque è maggiore di $1/3$) ... quindi soluzione unica ...
Isn't it?
Cordialmente, Alex
Poniamo che sia $a>2$ (abbiamo già visto che con $a=2$ funziona ...), per esempio $3$ (che è il minimo possibile): avremo $1-1/3=2/3=1/b+1/c$ ... ora deve essere $b>3$ (per ipotesi), quindi come minimo $b=4$ e di conseguenza sarà $2/3-1/4=5/12$ che è già ridotta ai minimi termini (e comunque è maggiore di $1/3$) ... quindi soluzione unica ...
Isn't it?
Cordialmente, Alex
Appunto, volevo dire...............sull'unicità.
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