Problema facile facile....

[JvloIvk]

Siano a,b,c 3 lati di un triangolo.
Trovare il minimo della quantità:
a/(b+c)+b/(a+c)+c(a+b)

EDIT:La quantità è:
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)
trovare il massimo non il minimo(che è 3/2)

[JvloIvk]

Altro esercizio carino:
Risolvere l'equazione:

[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+
+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]=1

rispetto alla x(nel minor numero possibile di passaggi)

[fireball1]

Riscrivo meglio il testo:

(x-a)(x-b)    (x-b)(x-c)   (x-c)(x-a)
----------- + ---------- + ---------- =1
(c-a)(c-b)    (a-b)(a-c)   (b-c)(b-a)

[JvloIvk]

Perfetto

[jack110]

2) in 0 passaggi, x=a , x=b, x=c; perchè c'è una certa analogia fra numeratore e denominatore...nel primo la x è al posto della c, nel secondo al posto della a e nel terzo al posto della b...e se si sostituisce uno dei tre valori, allora una frazione vale 1, le altre 0(perchè un fattore del denominatore è per forza 0)...simpatico esercizio...

[fireball1]

Complimenti jack, soprattutto per la capacità di osservazione!

[jack110]

grazie fireball...
ma se tu non l' avessi riscritta, probabilmente adesso sarei ancora a contare...

[Nidhogg]

1) Il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore x. Sostituendo x, abbiamo, 1/2+1/2+1/2, cioè 3/2, che è proprio il minimo cercato.

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

[JvloIvk]

quote:

---

Originally posted by jack

2) in 0 passaggi, x=a , x=b, x=c; perchè c'è una certa analogia fra numeratore e denominatore...nel primo la x è al posto della c, nel secondo al posto della a e nel terzo al posto della b...e se si sostituisce uno dei tre valori, allora una frazione vale 1, le altre 0(perchè un fattore del denominatore è per forza 0)...simpatico esercizio...

---

Esatto.Volendolo dire in altre parole:
Osserviamo preliminarmente che il polinomio in x:
P(x)=[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+
+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]
è al più di 2°grado.Eppure esso assume il valore 1
per 3 valori distinti:a,b,c;quindi non può che essere
constantemente uguale ad 1.
In generale:
Se due polinomi di grado = in n+1 punti distinti allora sono uguali...

[fireball1]

quote:

---

Originally posted by leonardo

1) Il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore x. Sostituendo x, abbiamo, 1/2+1/2+1/2, cioè 3/2, che è proprio il minimo cercato.

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

---

Non ho capito perché il minimo si ottiene in questo modo...
Perché uguagli ad x a, b e c?

[JvloIvk]

quote:

---

Originally posted by leonardo

1) Il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore x. Sostituendo x, abbiamo, 1/2+1/2+1/2, cioè 3/2, che è proprio il minimo cercato.

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

---

a,b,c non sono 3 numeri interi positivi qualsiasi ma 3 lati di
un triangolo!Comunque chi lo dice che uguagliando le variabili
venga il minimo?Dovresti dimostrare che la funzione in a,b,c è
convessa...

[fireball1]

Io avevo provato con le derivate parziali ma non riesco...

[Nidhogg]

Ho provato una scorciatoia. In effetti guardando bene i termini, non sono convessi. Proverò altre strade.

Ciao Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

[JvloIvk]

quote:

---

Originally posted by fireball

Io avevo provato con le derivate parziali ma non riesco...

---

No niente derivate,il problema si risolve con metodi
elementari.

[fireball1]

Immaginavo che non servissero le derivate... [:D]

[Nidhogg]

@JvloIvk
Ma se il triangolo è equilatero, a=b=c, giusto?
Il mio metodo è completamente errato, o il problema va risolto in maniera generale?

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

[JvloIvk]

quote:

---

Originally posted by leonardo

@JvloIvk
Ma se il triangolo è equilatero, a=b=c, giusto?
Il mio metodo è completamente errato, o il problema va risolto in maniera generale?

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

---

Scuasate,scusate:volevo dire il massimo di quella quantità!

[JvloIvk]

Uno più difficile:
Trovare il minimo di:

con a,b reali

[fireball1]

Ma tu li sai fare tutti, JvloIvk?
Sia questo che quello del triangolo?

[jack110]

@jvloivk
ma nel problema dei triangoli, il terzo addendo è c*(a+b) o c/(a+b)?

[jack110]

ipotizzando che sia c/(a+b) (come presumo da quello scritto da leonardo), può il minimo essere 1?