Problema facile facile....
Siano a,b,c 3 lati di un triangolo.
Trovare il minimo della quantità:
a/(b+c)+b/(a+c)+c(a+b)
EDIT:La quantità è:
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)
trovare il massimo non il minimo(che è 3/2)
Trovare il minimo della quantità:
a/(b+c)+b/(a+c)+c(a+b)
EDIT:La quantità è:
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)
trovare il massimo non il minimo(che è 3/2)
Risposte
@jack
JvloIvk si era sbagliato...
JvloIvk si era sbagliato...
quote:
Originally posted by JvloIvk
Scuasate,scusate:volevo dire il massimo di quella quantità!
Ho corretto il post iniziale per non generare
problemi di confusione...
E' c/(a+b) e il minimo vale 3/2(la famosa
disuguaglianza di Nesbitt).Dovete trovare
il massimo tenendo conto che a,b,c non sono
numeri interi qualsiasi ma lati di un triangolo...
problemi di confusione...
E' c/(a+b) e il minimo vale 3/2(la famosa
disuguaglianza di Nesbitt).Dovete trovare
il massimo tenendo conto che a,b,c non sono
numeri interi qualsiasi ma lati di un triangolo...
ok, allora il max mi sembra sia 3...perchè c'è un teorema che dice che ogni lato è minore della somma degli altri due, quindi tutt' al più, se è uguale,sostituisco e ottengo
(b+c)/(b+c) +(a+c)/(a+c) +(a+b)/(a+b)
il che diventa 1+1+1=3
ciao
(b+c)/(b+c) +(a+c)/(a+c) +(a+b)/(a+b)
il che diventa 1+1+1=3
ciao
quote:
Originally posted by jack
ok, allora il max mi sembra sia 3...perchè c'è un teorema che dice che ogni lato è minore della somma degli altri due, quindi tutt' al più, se è uguale,sostituisco e ottengo
(b+c)/(b+c) +(a+c)/(a+c) +(a+b)/(a+b)
il che diventa 1+1+1=3
ciao
Il problema non è tanto semplice come sembra...
Vediamo di chiarire l'errore nel tuo ragionamento:
Tu hai sostituito ai lati a,b,c rispettivamente
b+c,a+c,a+b.Per il teorema di Carnot è sempre:
a²=b²+c²-2bc cosz
b²=a²+c²-2ac cosy
c²=a²+b²-2ab cosx
Se è vero che:
a=b+c
b=a+c
c=a+b
è altrettanto vero che x=z=y=pi
ovvero x+y+z=3pi che è impossibile...
L'idea della disuguaglianza triangolare
è comunque giusta e necessaria per risolvere
il problema!
la somma degli angoli interni...un particolare piccolo ma fondamentale[:D][:D]...adesso ci riprovo...
quote:
Originally posted by JvloIvk
Uno pi� difficile:
Trovare il minimo di:
con a,b reali
Dovrebbe essere 6 che si ottiene per a=b
riscriviamo il polinomio come segue:

Esatto il minimo è 6. Il punto chiave
del problema era proprio quello di
verificare che x+1/x con x reale positivo
ammette come minimo 2
del problema era proprio quello di
verificare che x+1/x con x reale positivo
ammette come minimo 2
quote:
Originally posted by JvloIvk
Siano a,b,c 3 lati di un triangolo.
Trovare il massimo della quantità:
a/(b+c)+b/(a+c)+c/ (a+b)
Ma è lecito considerare un triangolo degenere? In tal caso il massimo dovrebbe essere ~2
Per il primo, si pone:
a+b-c=x
a+c-b=y
b+c-a=z
e le condizioni diventano x,y,z>0
invece la funzione diventa:
(x+y)/(x+y+2z)+(y+z)/(y+z+2x)+(x+z)/(x+z+2y)
suppongo x>y>z.
Sostituendo i denominatori della seconda e della terza frazione con x+y+2z si maggiora la funzione che assume il valore
f<1'+ 1 =2'
dove 1' è un numero minore di 1... il max quindi è 2, valore verso il quale ci si può avvicinare a piacere... cmq a mè nn sembra così facile facile...
a+b-c=x
a+c-b=y
b+c-a=z
e le condizioni diventano x,y,z>0
invece la funzione diventa:
(x+y)/(x+y+2z)+(y+z)/(y+z+2x)+(x+z)/(x+z+2y)
suppongo x>y>z.
Sostituendo i denominatori della seconda e della terza frazione con x+y+2z si maggiora la funzione che assume il valore
f<1'+ 1 =2'
dove 1' è un numero minore di 1... il max quindi è 2, valore verso il quale ci si può avvicinare a piacere... cmq a mè nn sembra così facile facile...
Visto che il problema è stato risolto
da Thomas posto anche la mia soluzione:

Ovviamente nel titolo c'era un po' d'ironia...
da Thomas posto anche la mia soluzione:

Ovviamente nel titolo c'era un po' d'ironia...
quote:
Originally posted by iteuler
Ma è lecito considerare un triangolo degenere? In tal caso il massimo dovrebbe essere ~2
Cioè a=0,b=c?
quote:
Originally posted by JvloIvk
[quote]Originally posted by iteuler
Cioè a=0,b=c?
Si, avevo pensato a qualcosa di simile
Si...capisco l'ironia: un esercizio che visto 'dopo' appare facile facile (anche se poi dipende da persona a persona)... Sinceramente mi sembra più facile trovare il minimo, posto che si conosca un pò di teoria delle disuguaglianze (a proposito, la media aritmetica-geometrica risolve il tuo ultimo quesito in un passaggio!)...
Cmq tu nn hai 15 anni,vero Jvlok (esattamente come io nn ne ho 16)?
[ps: questo es me ha fatto perdere un sacco di tempo, quando devo studiare altre materie che al momento mi stanno ben più a cuore!!!!! Avrei anche altre osservazioni da fare ma rimando a dopo la metà di Febbraio quando avrò (spero) qualche certificato in più in mano! grrr...]
Cmq tu nn hai 15 anni,vero Jvlok (esattamente come io nn ne ho 16)?
[ps: questo es me ha fatto perdere un sacco di tempo, quando devo studiare altre materie che al momento mi stanno ben più a cuore!!!!! Avrei anche altre osservazioni da fare ma rimando a dopo la metà di Febbraio quando avrò (spero) qualche certificato in più in mano! grrr...]
[OT]
Beh Thomas,ti sei risposto da solo:non c'era alcun bisogno
che TU rispondessi al mio esercizio,rovinando con sostituzioni varie,poco eleganti,ch esi adoperano proprio
quando si è disperati.
C'è gente che si diverte facendo questi esercizi,c'è pure
gente che si allena mentalmente e c'è gente,come te
,che della matematica olimpionica non ne ha capito proprio
un accidenti:tu parli di media aritmetica geometrica,forse
avrai minimamente sentito della disuguaglianza di Jensen,
ma ha una minima idea di cosa siano o sono solo parole le
tue?Perchè non le hai applicate a questo esercizio(ah,gia!
avevi altre cose da fare;ma certo!)?
Ma chi sei tu per dire cosa bisogna postare e cosa no?Un
paladino della giustizia,un moderatore;o semplicemente uno
che si sente offeso nel vedere soluzionialtrui,ovviamente
migliori delle proprie?
E' normale prendere un cantonata nel forum,ma l'importante
è prendersela con spirito e non arrabbiarsi inutilmente,
insultando pure,come hai fatto tu[;)]...
Quanto alla questione di età,solo ora mi rendo conto di
aver fatto bene a cancellare dal mio profilo le mie
informazioni personali:purtroppo nel forum ci sono troppi
pettegoli(uso il plurale perchè oltre a te ce ne stannoanche altri),a cui non va proprio giù che io abbia 15 anni...
Ah si,continua a fare le altre materie e auguri perFebbraio,dato che in questo topic dici tu stesso che non vi partecipi.
Già!Ti dovrebbero studiare proprio a fondo per ampliare
le attuali conoscenze sui disturbi di personalità multipla...
[/OT]
quote:
Originally posted by Thomas
Si...capisco l'ironia: un esercizio che visto 'dopo' appare facile facile (anche se poi dipende da persona a persona)... Sinceramente mi sembra più facile trovare il minimo, posto che si conosca un pò di teoria delle disuguaglianze (a proposito, la media aritmetica-geometrica risolve il tuo ultimo quesito in un passaggio!)...
Cmq tu nn hai 15 anni,vero Jvlok (esattamente come io nn ne ho 16)?
[ps: questo es me ha fatto perdere un sacco di tempo, quando devo studiare altre materie che al momento mi stanno ben più a cuore!!!!! Avrei anche altre osservazioni da fare ma rimando a dopo la metà di Febbraio quando avrò (spero) qualche certificato in più in mano! grrr...]
Beh Thomas,ti sei risposto da solo:non c'era alcun bisogno
che TU rispondessi al mio esercizio,rovinando con sostituzioni varie,poco eleganti,ch esi adoperano proprio
quando si è disperati.
C'è gente che si diverte facendo questi esercizi,c'è pure
gente che si allena mentalmente e c'è gente,come te
,che della matematica olimpionica non ne ha capito proprio
un accidenti:tu parli di media aritmetica geometrica,forse
avrai minimamente sentito della disuguaglianza di Jensen,
ma ha una minima idea di cosa siano o sono solo parole le
tue?Perchè non le hai applicate a questo esercizio(ah,gia!
avevi altre cose da fare;ma certo!)?
Ma chi sei tu per dire cosa bisogna postare e cosa no?Un
paladino della giustizia,un moderatore;o semplicemente uno
che si sente offeso nel vedere soluzionialtrui,ovviamente
migliori delle proprie?
E' normale prendere un cantonata nel forum,ma l'importante
è prendersela con spirito e non arrabbiarsi inutilmente,
insultando pure,come hai fatto tu[;)]...
Quanto alla questione di età,solo ora mi rendo conto di
aver fatto bene a cancellare dal mio profilo le mie
informazioni personali:purtroppo nel forum ci sono troppi
pettegoli(uso il plurale perchè oltre a te ce ne stannoanche altri),a cui non va proprio giù che io abbia 15 anni...
Ah si,continua a fare le altre materie e auguri perFebbraio,dato che in questo topic dici tu stesso che non vi partecipi.
Già!Ti dovrebbero studiare proprio a fondo per ampliare
le attuali conoscenze sui disturbi di personalità multipla...
[/OT]
Divertente, veramente divertente... Scusa ma mi vedo costretto a rispondere, dato che sono IO quello che si sente insultato. Innanzitutto togliamio qualche equivoco: nn volevo offendere nessuno ed anzi a rileggere il mio post, mi pare che tu abbia un pò la coda di paglia, dato che ce ne vuole per cogliere mie intenzioni ostili. Credimi che ho ben altro da fare che litigare sul forum....
In secondo luogo, io nn partecipo alle gare di Febbraio di matematica, ma a Febbraio ho le oli-fis ed un difficile (per mè) test in lingua tedesca che spero mi porterà il certificato sopra citato (ZD per i crucchi)...
Purtroppo la mate ha uno strano effetto su di mè e, pur nn essendo molto bravo, nn mi piace essere battuto da degli esercizi... Per questo motivo ho insistito trovando una sol nn elegante, ma scusami, è il meglio che sono riuscito a fare (ma se noti il mio procedimento si può applicare prima della sostituzione generalizzando il risultato)....
Per finire, perchè nn vedi la storia dei 15 anni come un complimento??? Quella voleva essere l'intenzione e nn mi pare difficile vederlo in quest'ottica... Io riconosco la superiorità altrui (ci vuol poco) senza alcun problema ... Ho controllato la tua età solo per curiosità: è un crimine? Per finire, se c'è un pettegolo quello sei tè, che si ricorda anche frasi postate da mè parecchio tempo fà e prova a mettermi alla berlina: veramente un brutto atteggiamento...E poi ripeto, credi che a mè frega qualcosa con chi scrivo su internet?
In quanto alla matematica olimpica, nn credo ci sia nulla da capire...Ognuno la affronta come vuole e nessuno deve avere la pretesa di giudicare le posizioni altrui in questo campo... Poi, cosa è la "matematica olimpica"? Esiste una definizione? Sinceramente penso che tu la veda come "enigmistica" o "passatempo"...Per mè è uguale a quella scolastica: nè più nè meno. Solo che alla luce delle mie attuale conoscenze questa ora è più stimolante...vorrei avere il tempo di dedicarmici in modo + approfondito...
Prego i moderatori di nn cancellare questi post, che per il momento rimangono su livelli accettabili...
In secondo luogo, io nn partecipo alle gare di Febbraio di matematica, ma a Febbraio ho le oli-fis ed un difficile (per mè) test in lingua tedesca che spero mi porterà il certificato sopra citato (ZD per i crucchi)...
Purtroppo la mate ha uno strano effetto su di mè e, pur nn essendo molto bravo, nn mi piace essere battuto da degli esercizi... Per questo motivo ho insistito trovando una sol nn elegante, ma scusami, è il meglio che sono riuscito a fare (ma se noti il mio procedimento si può applicare prima della sostituzione generalizzando il risultato)....
Per finire, perchè nn vedi la storia dei 15 anni come un complimento??? Quella voleva essere l'intenzione e nn mi pare difficile vederlo in quest'ottica... Io riconosco la superiorità altrui (ci vuol poco) senza alcun problema ... Ho controllato la tua età solo per curiosità: è un crimine? Per finire, se c'è un pettegolo quello sei tè, che si ricorda anche frasi postate da mè parecchio tempo fà e prova a mettermi alla berlina: veramente un brutto atteggiamento...E poi ripeto, credi che a mè frega qualcosa con chi scrivo su internet?
In quanto alla matematica olimpica, nn credo ci sia nulla da capire...Ognuno la affronta come vuole e nessuno deve avere la pretesa di giudicare le posizioni altrui in questo campo... Poi, cosa è la "matematica olimpica"? Esiste una definizione? Sinceramente penso che tu la veda come "enigmistica" o "passatempo"...Per mè è uguale a quella scolastica: nè più nè meno. Solo che alla luce delle mie attuale conoscenze questa ora è più stimolante...vorrei avere il tempo di dedicarmici in modo + approfondito...
Prego i moderatori di nn cancellare questi post, che per il momento rimangono su livelli accettabili...
Per favore non alimentate polemiche personali. Discutiamo di matematica.
Grazie, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Grazie, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Io? sono stato OFFESO e chiedo delle scuse... Scusa Ermanno, ma si sono messe in giro delle voci errate e gradirei una smentita ufficiale. Nn mi sembra di chiedere la luna! Se Ivolok risponderà come spero, nn manderò altri messaggi!
ps: devo fare un scelta universitaria: se i matematici hanno tutti questo atteggiamento, mi sà proprio che andrò a fare ingegneria...
ps: devo fare un scelta universitaria: se i matematici hanno tutti questo atteggiamento, mi sà proprio che andrò a fare ingegneria...
Delle scuse?Ma non farmi ridere...qua quello che ha iniziato
a fare polemica sei stato tu:
-posto che si conosca un pò di teoria delle disuguaglianze
-Cmq tu nn hai 15 anni?
-questo es me ha fatto perdere un sacco di tempo, quando devo studiare altre materie che al momento mi stanno ben più a cuore!!!!!
Ah certo,quello dell'età voleva essere un complimento;
raccontalo a qualcun'altro!
a fare polemica sei stato tu:
-posto che si conosca un pò di teoria delle disuguaglianze
-Cmq tu nn hai 15 anni?
-questo es me ha fatto perdere un sacco di tempo, quando devo studiare altre materie che al momento mi stanno ben più a cuore!!!!!
Ah certo,quello dell'età voleva essere un complimento;
raccontalo a qualcun'altro!
Ragazzi per favore basta. Vi prego di finirla qui, altrimenti sarò costretto a cancellare i post. Il discorso si sta avviando sul personale.
Grazie, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Grazie, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Purtroppo vedo che perseveri...
---Posto che si conosca----
una frase grammaticalmente corretta male-interpretata... Vedila così "posto che si conosca"= "se si conosce".. mi sono espresso un filo male, ok...
---Cmq tu nn hai 15 anni?---
se l'avessero detto a mè io mi sarei sentito gratificato. Boh.. evidentemente su altre persone questo ha altri effetti...
---se avessi un esame di tedesco tra una settimana, forse dopo il tempo buttato ti saresti disperato anche tè...
vuoi venire in chat così ci spieghiamo ed evitiamo di dare spettacolo?
Vuoi provare ad entrare nella mia lunghezza d'onda?
----hai detto delle falsità: perlomeno questo riconoscilo per giustizia..
---Posto che si conosca----
una frase grammaticalmente corretta male-interpretata... Vedila così "posto che si conosca"= "se si conosce".. mi sono espresso un filo male, ok...
---Cmq tu nn hai 15 anni?---
se l'avessero detto a mè io mi sarei sentito gratificato. Boh.. evidentemente su altre persone questo ha altri effetti...
---se avessi un esame di tedesco tra una settimana, forse dopo il tempo buttato ti saresti disperato anche tè...
vuoi venire in chat così ci spieghiamo ed evitiamo di dare spettacolo?
Vuoi provare ad entrare nella mia lunghezza d'onda?
----hai detto delle falsità: perlomeno questo riconoscilo per giustizia..