Problema esame matematica
Sia ABC un triangolo con il lato BC di lunghezza unitaria e l’angolo beta di ampiezza 60°.
a)Posto AB=x , si determini il rapporto f(x) tra la misura del lato AC e il seno dell’angolo BCA (gamma) .
Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f(x) e se ne rappresenti il grafico
Ciao, volevo chiedervi come riesco a risolvere questo problema ? io innanzitutto per trovare il rapporto tra AC e il seno dell'angolo BCA per trovarlo uso il teorema dei seni e quello di carnot
$(AC)/(sen\beta)=(AB)/(sen\gamma)$ con l'equazione $(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2-2*(AC)*(BC)*(cos\gamma)$
Andando avanti con i calcoli mi ritrovo con un $(sen\gamma)^3$ e risultati strani e non riesco ad andare avanti...
ho sbagliato all'inizio o c'è una strada più semplice grazie mille
a)Posto AB=x , si determini il rapporto f(x) tra la misura del lato AC e il seno dell’angolo BCA (gamma) .
Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f(x) e se ne rappresenti il grafico
Ciao, volevo chiedervi come riesco a risolvere questo problema ? io innanzitutto per trovare il rapporto tra AC e il seno dell'angolo BCA per trovarlo uso il teorema dei seni e quello di carnot
$(AC)/(sen\beta)=(AB)/(sen\gamma)$ con l'equazione $(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2-2*(AC)*(BC)*(cos\gamma)$
Andando avanti con i calcoli mi ritrovo con un $(sen\gamma)^3$ e risultati strani e non riesco ad andare avanti...
ho sbagliato all'inizio o c'è una strada più semplice grazie mille
Risposte
Ciao. Per prima cosa ti volevo dire di modificare il titolo del topic togliendo "help!" in quanto contrario al regolamento.
Venendo al problema provo a rispondere, però prendi col beneficio del dubbio quanto scrivo.
Il problema richiede il rapporto tra il lato $AC$ e $sin\gamma$, cioè: $f(x)=(AC)/sin\gamma$. Il fatto che $AB = x$, implica il fatto che il rapporto deve essere scritto in funzione proprio di $AB$.
Allora se così è, per il teorema dei seni possiamo scrivere che:
$(AB)/sin\gamma = (AC)/sin\beta$
Siccome voglio ottenere $(AC)/sin\gamma$, moltiplico a destra e sinistra per la stessa quantità, e precisamente per $sin\beta/sin\gamma$ e ottengo:
$sin\beta/sin\gamma * (AB)/sin\gamma = (AC)/sin\beta * sin\beta/sin\gamma$
Semplificando ottengo ancora:
$sin\beta/(sin^2\gamma) * AB = (AC)/sin\gamma$
Ecco quindi che si è ottenuto quanto si cercava e cioè scrivere il rapporto $(AC)/sin\gamma$ in funzione di $AB$.
Considerando poi che $AB = x$ e che $sin\beta = sin60° = sqrt3/2$, la funzione possiamo riscriverla così:
$(AC)/sin\gamma = (sqrt3x)/(2sin^2\gamma)$
Questo almeno è quello che ho ottenuto, ma ti ripeto non sono sicurissimo. Spero che qualcuno confermi o smentisca.
Ciao.
Venendo al problema provo a rispondere, però prendi col beneficio del dubbio quanto scrivo.
Il problema richiede il rapporto tra il lato $AC$ e $sin\gamma$, cioè: $f(x)=(AC)/sin\gamma$. Il fatto che $AB = x$, implica il fatto che il rapporto deve essere scritto in funzione proprio di $AB$.
Allora se così è, per il teorema dei seni possiamo scrivere che:
$(AB)/sin\gamma = (AC)/sin\beta$
Siccome voglio ottenere $(AC)/sin\gamma$, moltiplico a destra e sinistra per la stessa quantità, e precisamente per $sin\beta/sin\gamma$ e ottengo:
$sin\beta/sin\gamma * (AB)/sin\gamma = (AC)/sin\beta * sin\beta/sin\gamma$
Semplificando ottengo ancora:
$sin\beta/(sin^2\gamma) * AB = (AC)/sin\gamma$
Ecco quindi che si è ottenuto quanto si cercava e cioè scrivere il rapporto $(AC)/sin\gamma$ in funzione di $AB$.
Considerando poi che $AB = x$ e che $sin\beta = sin60° = sqrt3/2$, la funzione possiamo riscriverla così:
$(AC)/sin\gamma = (sqrt3x)/(2sin^2\gamma)$
Questo almeno è quello che ho ottenuto, ma ti ripeto non sono sicurissimo. Spero che qualcuno confermi o smentisca.
Ciao.
Grazie mille per la tua disposizione ! Ma una cosa non ho capito alla fine mi rimane il rapporto con $sen\gamma$ che è un'incognita... come devo fare ? 
Si stavo notando proprio questo. Penso che si deve fare in modo di scrivere anche $sin\gamma$ in funzione di $AB$ per avere un'unica incognita.
Se arrivo a qualcosa te lo dico.
Se arrivo a qualcosa te lo dico.
Ok grazie mille
Io suggerirei di risolvere così ....
Chiamato $b=AC$, dal teorema dei seni si ottiene $b/sin(beta)=x/sin(gamma)->1/sin(gamma)=b/(x*sin(beta))$.
Inoltre, dal teorema di Carnot, si ha che $b^2=x^2+1-2*x*cos(beta)$.
Quindi
$f(x)=(AC)/sin(gamma)=b*1/sin(gamma)=b*b/(x*sin(beta))=b^2/(x*sin(beta))=(x^2+1-2*x*cos(beta))/(x*sin(beta))=$
$(x^2+1-2*x*1/2)/(x*sqrt(3)/2)=2/sqrt(3)*(x^2-x+1)/x=2/3sqrt(3)*(x^2-x+1)/x$.
Chiamato $b=AC$, dal teorema dei seni si ottiene $b/sin(beta)=x/sin(gamma)->1/sin(gamma)=b/(x*sin(beta))$.
Inoltre, dal teorema di Carnot, si ha che $b^2=x^2+1-2*x*cos(beta)$.
Quindi
$f(x)=(AC)/sin(gamma)=b*1/sin(gamma)=b*b/(x*sin(beta))=b^2/(x*sin(beta))=(x^2+1-2*x*cos(beta))/(x*sin(beta))=$
$(x^2+1-2*x*1/2)/(x*sqrt(3)/2)=2/sqrt(3)*(x^2-x+1)/x=2/3sqrt(3)*(x^2-x+1)/x$.
@chiaraotta si hai ragione forse conviene fare come hai detto tu ! grazie per la tua disposizione !
grazie per la tua disposizione !
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