Problema esame di stato 2007 - corso di ordinamento
Salve, mi aiutereste con questo problema?
Il problema dice: Si consideri un cerchio C di raggio r.
1. Tra i triangoli isosceli inscritti si trovi quello di area massima.
Io ho svolto così. L'altezza lo considerata come la somma tra il raggio r e il segmento x. Mi sono calcolata la basa con il teorema di pitagora e la base risulta= $ 2sqrt(r^2-x^2) $ Quindi l'area è= $ (r+x)sqrt(r^2-x^2) $. Ho trovato la derivata prima che è uguale a $ sqrt(r^2-x^2)-(x(r+x))/sqrt(r^2-x^2) $. Ho messo la derivata uguale a zero e quindi mi esce $ 2x^2+xr-r^2=0 $ Ora devo ricavarmi la x? Ma non escono 2? Mi uscirebbe x=-r e x=1/2r. Ma la prima soluzione non è accettabile altrimenti non ci sarebbe il triangolo perchè l'altezza è r+x. Giusto?
Il problema dice: Si consideri un cerchio C di raggio r.
1. Tra i triangoli isosceli inscritti si trovi quello di area massima.
Io ho svolto così. L'altezza lo considerata come la somma tra il raggio r e il segmento x. Mi sono calcolata la basa con il teorema di pitagora e la base risulta= $ 2sqrt(r^2-x^2) $ Quindi l'area è= $ (r+x)sqrt(r^2-x^2) $. Ho trovato la derivata prima che è uguale a $ sqrt(r^2-x^2)-(x(r+x))/sqrt(r^2-x^2) $. Ho messo la derivata uguale a zero e quindi mi esce $ 2x^2+xr-r^2=0 $ Ora devo ricavarmi la x? Ma non escono 2? Mi uscirebbe x=-r e x=1/2r. Ma la prima soluzione non è accettabile altrimenti non ci sarebbe il triangolo perchè l'altezza è r+x. Giusto?
Risposte
Mi sembra tutto giusto.
Paola
Paola
Quasi giusto. Ponendo la derivata uguale a zero trovi i punti di stazionarietà, cioè quelli in cui si ha massimo, minimo o flesso con tangente orizzontale: nel tuo caso, x=-r corrisponde all'area minima che vale zero. Avresti fatto meglio a studiare il segno della derivata prima; si può anche chiedersi il segno della derivata seconda, ma questo di obbliga al non semplice suo calcolo.
Un altro piccolo contributo ...
In realtà la variabile $x$ scelta non è una lunghezza, che sarebbe $>= 0$, ma l'ascissa del punto medio della base, relativa a un asse coordinato orientato dal vertice ($A$) del triangolo isoscele opposto alla base verso il centro ($O$) del cerchio e con l'origine in $O$. Per questo il problema è definito per $-r <= x <= r$. La situazione con $x = -r$ corrisponde al fatto che il triangolo isoscele è degenerato nel punto $A$, perché i suoi tre vertici si sono chiusi lì; l'area in quella situazione è ovviamente $= 0$ e non è quella massima. Il valore di $x = 1/2 * r$ corrisponde invece al fatto che il triangolo isoscele è diventato anche equilatero.
Oppure si poteva scegliere un'impostazione trigonometrica del problema: se si indica con $x$ uno degli angoli alla base del triangolo isoscele, l'angolo al vertice $A$ è $\pi - 2x$. Dal teorema della corda i due lati obliqui misurano $2 * r * sen x$ e la base $2 * r * sen(\pi - 2x) = 2 * r * sen 2x$. Quindi l'area è $S(x) = 1/2 * 2 * r * sen x * 2 * r * sen 2x * sen x = 4 * r^2 * sen^3 x * cos x$ con $0 <= x <= \pi/2$. Se si calcola la derivata e se ne studiano gli zeri e il segno, si trova che a) $S'(x) = 4 * r^2 * (3 sen^2 x * cos^2 x - sen^4 x) = 4 * r^2 * sen^2 x * (sqrt(3) * cos x - sen x) * (sqrt(3) * cos x + sen x)$; b) le radici nel dominio della funzione sono $x = 0$ e $x = pi/3$; c) $S'(x) > 0$ per $0 <= x < \pi/3$ e $S'(x) < 0$ per $\pi/3 < x <= \pi/2$. Quindi il massimo dell'area è per $x = \pi/3$, cioè quando il triangolo isoscele è anche equilatero. Il valore dell'area massima è $S(\pi/3) = 3/4 * sqrt(3) * r^2$.
In realtà la variabile $x$ scelta non è una lunghezza, che sarebbe $>= 0$, ma l'ascissa del punto medio della base, relativa a un asse coordinato orientato dal vertice ($A$) del triangolo isoscele opposto alla base verso il centro ($O$) del cerchio e con l'origine in $O$. Per questo il problema è definito per $-r <= x <= r$. La situazione con $x = -r$ corrisponde al fatto che il triangolo isoscele è degenerato nel punto $A$, perché i suoi tre vertici si sono chiusi lì; l'area in quella situazione è ovviamente $= 0$ e non è quella massima. Il valore di $x = 1/2 * r$ corrisponde invece al fatto che il triangolo isoscele è diventato anche equilatero.
Oppure si poteva scegliere un'impostazione trigonometrica del problema: se si indica con $x$ uno degli angoli alla base del triangolo isoscele, l'angolo al vertice $A$ è $\pi - 2x$. Dal teorema della corda i due lati obliqui misurano $2 * r * sen x$ e la base $2 * r * sen(\pi - 2x) = 2 * r * sen 2x$. Quindi l'area è $S(x) = 1/2 * 2 * r * sen x * 2 * r * sen 2x * sen x = 4 * r^2 * sen^3 x * cos x$ con $0 <= x <= \pi/2$. Se si calcola la derivata e se ne studiano gli zeri e il segno, si trova che a) $S'(x) = 4 * r^2 * (3 sen^2 x * cos^2 x - sen^4 x) = 4 * r^2 * sen^2 x * (sqrt(3) * cos x - sen x) * (sqrt(3) * cos x + sen x)$; b) le radici nel dominio della funzione sono $x = 0$ e $x = pi/3$; c) $S'(x) > 0$ per $0 <= x < \pi/3$ e $S'(x) < 0$ per $\pi/3 < x <= \pi/2$. Quindi il massimo dell'area è per $x = \pi/3$, cioè quando il triangolo isoscele è anche equilatero. Il valore dell'area massima è $S(\pi/3) = 3/4 * sqrt(3) * r^2$.
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