PROBLEMA ESAME
Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s'intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].
1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP; OC : DP = DP : BC; ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;
2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l'equazione cartesiana di G è:
$y=(a^3/(x^2+a^2))$
Non capisco 1 cosa
Io evidentemente non ho scelto un sistema di riferimento opportuno e quindi ho trovato il luogo in un'altra forma!
Come si fa a capire quale sitema di riferimento è opportuno? Posso risalire dalla foram del mio luogo a quello cercato così da capire la traslazione degli assi? E come?
Il mio luogo, salvo errori è: $y=(asqrt((a^2)/4-x^2))/(x+a)$
1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP; OC : DP = DP : BC; ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;
2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l'equazione cartesiana di G è:
$y=(a^3/(x^2+a^2))$
Non capisco 1 cosa
Io evidentemente non ho scelto un sistema di riferimento opportuno e quindi ho trovato il luogo in un'altra forma!
Come si fa a capire quale sitema di riferimento è opportuno? Posso risalire dalla foram del mio luogo a quello cercato così da capire la traslazione degli assi? E come?
Il mio luogo, salvo errori è: $y=(asqrt((a^2)/4-x^2))/(x+a)$
Risposte
per favore aiutatemi
Ti conviene prendere il sistema di riferimento come indicato in figura.
Se non dici come hai scelto il riferimento non e' possibile rispondere
alle tue domande.Comunque tieni presente che:
1)Non e' possibile dire ,in generale ,quale sia il riferimento piu'
appropriato (tutto dipende dalla costruzione che si deve fare e dall'esperienza
che si ha sull'argomento). Nel caso in questione,tuttavia,la scelta appare
abbastanza scontata.
2)All'esame una scelta che porta ad un'equazione come la tua (ammesso che sia esatta!!) sarebbe certo valutata negativamente in quanto complica inutilmente lo studio della funzione,se richiesto.
Un calcolo semplice e' il seguente.
Posto $COK=alpha $ si ha :
$OB=OAsinalpha=asinalpha,OL=OBsinalpha=asin^2alpha=a/(1+cot^2alpha)$(=ordinata di P)
$OC=(OA)/(sinalpha)=a/(sinalpha),OK=OCcosalpha=a cdot cotalpha$ (=ascissa di P)
Quindi le equazioni parametriche del luogo sono:
$x=a cdot cotalpha,y=a/(1+cot^2alpha),0
Eliminando $cotalpha$ si ha in definitiva:
$y=(a^3)/(a^2+x^2),-oo
Archimede
Il mio sistema di riferimento era tale ke il centro della circonferenza fosse nel punto di intersezione degli assi coordinati.
Grazie per avermi risposto.. cmq anke il mio metodo è stato rapido (ammesso ke sia giusto..anzi per favore dimmi se è corretto) infatto PD è l'ordinata del punto P e PD l'ho calcolato dalla prima proporzione. Poi ho eliminato il parametro fra le coordinate di P ed ho ottenuto quello ke ho scritto....
Per favore dai un occhiata al mio metodo e dimmi qlcs.
Un'altra cosa poco attinente all'argomento: come hai fatto a inserire quel disegno nel tuo post?
GRAZIE A TE E AGLI ALTRI KE AVRANNOP LA PAZIENZA DI RISPONDERMI
CIAO
Grazie per avermi risposto.. cmq anke il mio metodo è stato rapido (ammesso ke sia giusto..anzi per favore dimmi se è corretto) infatto PD è l'ordinata del punto P e PD l'ho calcolato dalla prima proporzione. Poi ho eliminato il parametro fra le coordinate di P ed ho ottenuto quello ke ho scritto....
Per favore dai un occhiata al mio metodo e dimmi qlcs.
Un'altra cosa poco attinente all'argomento: come hai fatto a inserire quel disegno nel tuo post?
GRAZIE A TE E AGLI ALTRI KE AVRANNOP LA PAZIENZA DI RISPONDERMI
CIAO
Nel tuo riferimento l'equazione esatta e' :
$y=(a sqrt(a^2/4-x^2))/(a/2+x)$ oppure:$y=a sqrt((a-2x)/(a+2x))$ con $-a/2
Per ottenere quella indicata dal testo occorre il prodotto della traslazione
che porta l'origine (0,0) in (-a/2,0) per la simmetria rispetto alla prima bisettrice.
Vale a dire che si devono sostituire nell'equazione precedente x ed y con:
$x=X'-a/2 , y=Y' $ e poi sostiture X' e Y' con : X'=Y e Y'=X
Alla fine si ottiene l'equazione $Y=(a^3)/(a^2+X^2)$
Archimede
$y=(a sqrt(a^2/4-x^2))/(a/2+x)$ oppure:$y=a sqrt((a-2x)/(a+2x))$ con $-a/2
Per ottenere quella indicata dal testo occorre il prodotto della traslazione
che porta l'origine (0,0) in (-a/2,0) per la simmetria rispetto alla prima bisettrice.
Vale a dire che si devono sostituire nell'equazione precedente x ed y con:
$x=X'-a/2 , y=Y' $ e poi sostiture X' e Y' con : X'=Y e Y'=X
Alla fine si ottiene l'equazione $Y=(a^3)/(a^2+X^2)$
Archimede
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