Problema equazione II grado
Salve a tutti, non riesco a risolvere la seguente ecquazione:
$ (a-b)x^2+a^2b-ab^2-a^2x=b(b-a)x $
faccio i dovuti passaggi
$ (a-b)x^2-x(a-b)^2+ab(a-b)=0 $
imposto le soluzioni delle incognite
$ x=((a-b)^2/2pmsqrt[[(a-b)^2/2]^2-[(a-b)*ab(a-b)]))/(a-b) $
quindi arrivo a qui
$ x=((a-b)^2/2pmsqrt((a^4-8a^3b+14a^2b^2-8ab^3+b^4)/4))/(a-b) $
quello che compare sotto radice non so come farlo diventare
$ (a-b)^4/4 $
Qualcuno mi aiuta?
$ (a-b)x^2+a^2b-ab^2-a^2x=b(b-a)x $
faccio i dovuti passaggi
$ (a-b)x^2-x(a-b)^2+ab(a-b)=0 $
imposto le soluzioni delle incognite
$ x=((a-b)^2/2pmsqrt[[(a-b)^2/2]^2-[(a-b)*ab(a-b)]))/(a-b) $
quindi arrivo a qui
$ x=((a-b)^2/2pmsqrt((a^4-8a^3b+14a^2b^2-8ab^3+b^4)/4))/(a-b) $
quello che compare sotto radice non so come farlo diventare
$ (a-b)^4/4 $
Qualcuno mi aiuta?
Risposte
Dal primo passaggio se applichi il principio del trasporto e quindi ottieni $-b^2x+abx$ come fai poi ad avere $-x(a-b)^2$. Controlla tale calcolo perchè è errato.
In effetti ho sbagliato i calcoli, ma il problema rimane:
$ (a-b)x^2+a^2b-ab^2-a^2x=b(b-a)x $
faccio i dovuti passaggi
$ (a-b)x^2-x(a^2-ab+b^2)+ab(a-b)=0 $
imposto le soluzioni delle incognite
$ x=((a^2-ab+b^2)^2/2pmsqrt[[(a^2-ab+b^2)^2/2]^2-[(a-b)*ab(a-b)]))/(a-b) $
quindi arrivo a qui
$ x=((a^2-ab+b^2)^2/2pmsqrt((a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4)/4))/(a-b) $
da ciò che compare sotto radice non sò come andare avanti
$(a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4)/4$
$ (a-b)x^2+a^2b-ab^2-a^2x=b(b-a)x $
faccio i dovuti passaggi
$ (a-b)x^2-x(a^2-ab+b^2)+ab(a-b)=0 $
imposto le soluzioni delle incognite
$ x=((a^2-ab+b^2)^2/2pmsqrt[[(a^2-ab+b^2)^2/2]^2-[(a-b)*ab(a-b)]))/(a-b) $
quindi arrivo a qui
$ x=((a^2-ab+b^2)^2/2pmsqrt((a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4)/4))/(a-b) $
da ciò che compare sotto radice non sò come andare avanti
$(a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4)/4$
Mi sembra che le soluzioni siano
$x =(a^2-ab+b^2+-|a^2 - 3ab + b^2|)/(2(a-b))$
$x =(a^2-ab+b^2+-|a^2 - 3ab + b^2|)/(2(a-b))$
Mi fai vedere i passaggi da
$ a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4 $
a
$ (a^2-3ab+b^2)^2 $
$ a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4 $
a
$ (a^2-3ab+b^2)^2 $
$Delta=(a^2-ab+b^2)^2-4(a-b)ab(a-b)=$
$a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3-4ab(a-b)^2=$
$a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3-4ab(a^2-2ab+b^2)=$
$a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3-4a^3b+8a^2b^2-4ab^3=$
$a^4+11a^2b^2+b^4-6a^3b-6ab^3=$
$(a^2-3ab+b^2)^2$
Per dimostrare che $(a^2-3ab+b^2)^2=a^4+11a^2b^2+b^4-6a^3b-6ab^3$
basta sviluppare il quadrato di un trinomio.
$a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3-4ab(a-b)^2=$
$a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3-4ab(a^2-2ab+b^2)=$
$a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3-4a^3b+8a^2b^2-4ab^3=$
$a^4+11a^2b^2+b^4-6a^3b-6ab^3=$
$(a^2-3ab+b^2)^2$
Per dimostrare che $(a^2-3ab+b^2)^2=a^4+11a^2b^2+b^4-6a^3b-6ab^3$
basta sviluppare il quadrato di un trinomio.
Lo sviluppo che mi hai dimostrato lo conosco, ma è il procedimento inverso che mi ha bloccato,
ossia da qui
$ a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4 $
a qui
$ (a^2-3ab+b^2)^2 $.
Che deve risultare un trinomio al quadrato ci si arriva per deduzione, ma è quel valore di -3ab che non so come ricavarlo.
ossia da qui
$ a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4 $
a qui
$ (a^2-3ab+b^2)^2 $.
Che deve risultare un trinomio al quadrato ci si arriva per deduzione, ma è quel valore di -3ab che non so come ricavarlo.
Perchè devi esprimere $11a^2b^2$ come $9a^2b^2+2a^2b^2$ in cui $9a^2b^2$ è il quadrato di $-3ab$ e $2a^2b^2$ è il doppio prodotto del primo e del terzo termine.
Può essere utile a FELICE1 e ad altri il ragionamento che io faccio per riconoscere il quadrato di un trinomio. Come prima cosa scrivo il tutto ordinatamente:
$P=a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4$
Se è il quadrato del trinomio $Q$, il primo termine di $Q$ deve essere $a^2$. Il secondo termine di $P$ è il doppio prodotto fra il primo ed il secondo di $Q$, quindi $Q$ inizia con $a^2-3ab$.
Osservo ora la fine di $P$: l'ultimo termine è $b^4$, quindi $Q$ può terminare solo con $+b^2$ o con $-b^2$; il penultimo termine di $P$ è il doppio prodotto degli ultimi due di $Q$ e quindi può essere solo $Q=a^2-3ab+b^2$.
Calcolo poi $Q^2$ per verificare che sia giusto anche il termine centrale di $P$; è sufficiente controllare solo quello, ma una verifica degli altri non è da buttare via.
$P=a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4$
Se è il quadrato del trinomio $Q$, il primo termine di $Q$ deve essere $a^2$. Il secondo termine di $P$ è il doppio prodotto fra il primo ed il secondo di $Q$, quindi $Q$ inizia con $a^2-3ab$.
Osservo ora la fine di $P$: l'ultimo termine è $b^4$, quindi $Q$ può terminare solo con $+b^2$ o con $-b^2$; il penultimo termine di $P$ è il doppio prodotto degli ultimi due di $Q$ e quindi può essere solo $Q=a^2-3ab+b^2$.
Calcolo poi $Q^2$ per verificare che sia giusto anche il termine centrale di $P$; è sufficiente controllare solo quello, ma una verifica degli altri non è da buttare via.
"giammaria":
Può essere utile a FELICE1 e ad altri il ragionamento che io faccio per riconoscere il quadrato di un trinomio. Come prima cosa scrivo il tutto ordinatamente:
$P=a^4-6a^3b+11a^2b^2-6ab^3+b^4$
Se è il quadrato del trinomio $Q$, il primo termine di $Q$ deve essere $a^2$. Il secondo termine di $P$ è il doppio prodotto fra il primo ed il secondo di $Q$, quindi $Q$ inizia con $a^2-3ab$.
Osservo ora la fine di $P$: l'ultimo termine è $b^4$, quindi $Q$ può terminare solo con $+b^2$ o con $-b^2$; il penultimo termine di $P$ è il doppio prodotto degli ultimi due di $Q$ e quindi può essere solo $Q=a^2-3ab+b^2$.
Calcolo poi $Q^2$ per verificare che sia giusto anche il termine centrale di $P$; è sufficiente controllare solo quello, ma una verifica degli altri non è da buttare via.
Ragionamemento perfetto e semplice. Io non avendo trovato nulla sull'argomento nel mio libro, stavo elaborado un mio ragionamento (valido per tutti i trinomi), che avrei messo nel forum per conferma. Ma rispetto al tuo, il mio è più laborioso, quindi con più possibilità di errori.
Grazie, sia a te sia a tutti gl'altri
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo