Problema equazione della parabola
Salve a tutti.
premetto di essere abbastanza negato per la matematica, avrei un problema che mi ha bloccato nella programmazione di una routine in C#...
immaginiamo che mi trovo a 0.5m dietro una recinzione alta 4m e devo lanciare un oggetto che si trova ad 1m da terra, superando la recinzione ad una distanza di 15m
qual'è il vettore (o angolo) e la spinta iniziale che mi servono per oltrepassarla (sfiorando quindi il punto più alto della recinzione)?
questo sono i calcoli da fare:
ma mi sono bloccato sulle equazioni in quanto sono una vera schiappa in matematica.
esiste un modo per sintetizzare in poche formule tutto questo o magari illustrandomi i singoli passaggi in modo semplicistico?
..ormai sono bloccato da un pò e ci ho perso le speranze
spero che qualcuno mi possa aiutare
grazie mille
premetto di essere abbastanza negato per la matematica, avrei un problema che mi ha bloccato nella programmazione di una routine in C#...
immaginiamo che mi trovo a 0.5m dietro una recinzione alta 4m e devo lanciare un oggetto che si trova ad 1m da terra, superando la recinzione ad una distanza di 15m
qual'è il vettore (o angolo) e la spinta iniziale che mi servono per oltrepassarla (sfiorando quindi il punto più alto della recinzione)?
questo sono i calcoli da fare:
dunque si tratta sicuramente di una parabola, quindi la mia equazione è
y(x) = ax^2 + bx +c.
abbiamo 3 sconosciute, quindi mi servono 3 punti che sarebbero:
x,y
0,1 (partenza)
0.5, 4 (il punto alto della recinzione)
15, 0. (destinazione)
Una volta che conosciamo a,b,c, bisogna trovare la massima altezza y quando x è a metà tragitto cioè 7.5
dall'altezza massima ricavo quest'equazione:
y(t) = (-9.8 m/s^2) * t^2 / 2 + v_y*t + 1.
v_y è il vettore di velocità in y e -9.8 l'accelerazione di gravità
per prendere il tempo totale devo risolvere per t quando y=0
la mia equazione x sarà v_x = 15 m / total time.
ma mi sono bloccato sulle equazioni in quanto sono una vera schiappa in matematica.
esiste un modo per sintetizzare in poche formule tutto questo o magari illustrandomi i singoli passaggi in modo semplicistico?
..ormai sono bloccato da un pò e ci ho perso le speranze
spero che qualcuno mi possa aiutare
grazie mille
Risposte
Direi di partire dalle equazioni orarie del moto:
$x=V_x*t$
$y=a+V_y*t-1/2g*t^2$
dove ho indicato $a=1$ (altezza punto di partenza)
$V_x$ componente lungo l'asse x della velocità iniziale
$V_y$ componente lungo l'asse y della velocità iniziale
Adesso si tratta di ricavare l'equazione della parabola (trovi $t$ dalla prima equazione e sostituisci nella seconda)
e poi imporre il passaggio per i punti $(0.5,4)$ e $(15,0)$, da cui otterrai due equazioni nelle incognite $V_x$ e $V_y$.
Dopo di che è facile trovare il modulo della velocità iniziale e l'angolo di lancio.
$x=V_x*t$
$y=a+V_y*t-1/2g*t^2$
dove ho indicato $a=1$ (altezza punto di partenza)
$V_x$ componente lungo l'asse x della velocità iniziale
$V_y$ componente lungo l'asse y della velocità iniziale
Adesso si tratta di ricavare l'equazione della parabola (trovi $t$ dalla prima equazione e sostituisci nella seconda)
e poi imporre il passaggio per i punti $(0.5,4)$ e $(15,0)$, da cui otterrai due equazioni nelle incognite $V_x$ e $V_y$.
Dopo di che è facile trovare il modulo della velocità iniziale e l'angolo di lancio.
Oppure anche così ....
Ho usato i simboli che seguono: altezza del punto di lancio dal suolo $h = 1 text ( m)$, distanza sul terreno del muretto $d = 0.5 text ( m)$, altezza del muretto $m = 4 text ( m)$ e distanza sul terreno del punto di caduta $s = 15 text ( m)$.
Ho poi preso un sistema di riferimento con l'origine nel punto di partenza $P$, l'asse $y$ verticale rivolto verso l'alto. In questo sistema i punti significativi della traiettoria hanno coordinate: $P(0, 0)$, il colmo del muro $M(d, m-h)$, il punto di caduta $C(s, -h)$.
A questo punto ho cercato l'equazione di una parabola ad asse verticale per $P, M, C$. Poiché la parabola passa per $P$ che è nell'origine, l'equazione è del tipo $y = a*x^2 + b*x$. Per determinare i valori di $a$ e $b$, imponendo il passaggio per $M$ e $C$, si ottiene il sistema di due equazioni nelle due incognite $a$ e $b$:
$\{(-h = a * s^2 + b * s),(m - h = a * d^2 + b * d):}$.
Le soluzioni sono $\{(a = -(d * h + s *(m-h))/(d*s*(s-d))), (b = (d^2 * h + s^2 *(m-h))/(d*s*(s-d))):}$.
Per quanto riguarda l'inclinazione, $theta$, sull'asse $x$ della velocità iniziale $v_0$, è quella della retta tangente alla traiettoria nel punto $P$, il cui coefficiente angolare coincide con la derivata della funzione nell'origine. Ora $y'(x) = 2 * a * x + b$ e quindi $tang(theta) = y'(0) = 2 * a * 0 + b = b = (d^2 * h + s^2 *(m-h))/(d*s*(s-d))$.
Per quello che riguarda il modulo della velocità iniziale $v_0$, lo si può ricavare dalle equazioni del moto dell'oggetto sui due assi: $\{(x(t) = v_0 * cos(theta) * t), (y(t) = v_0 * sen(theta) * t - 1/2 * g * t^2):}$.
Se si ricava $t$ dalla prima, lo si sostituisce nella seconda e si impone il passaggio per $C(s, -h)$ si ha l'equazione
$-h = v_0 * sen(theta) * s/(v_0 * cos(theta)) - 1/2 * g * (s/(v_0 * cos(theta)))^2$,
che diventa
$-h = s * tang(theta) - 1/2 * g * (s^2 /(v_0^2 * cos^2(theta)))$.
Tenendo conto che $cos^2(theta) = 1/(1 + tang^2(theta))$ (dove si è già trovato che $tang(theta) = b$), l'equazione è nella sola incognita $v_0$.
La soluzione è $v_0 = sqrt((g * s^2 * (1 + tang^2(theta)))/(2 * (s * tang(theta) + h)))$, dove $tang(theta) = (d^2 * h + s^2 * (m - h))/(d * s * (s - d))$.
Ho usato i simboli che seguono: altezza del punto di lancio dal suolo $h = 1 text ( m)$, distanza sul terreno del muretto $d = 0.5 text ( m)$, altezza del muretto $m = 4 text ( m)$ e distanza sul terreno del punto di caduta $s = 15 text ( m)$.
Ho poi preso un sistema di riferimento con l'origine nel punto di partenza $P$, l'asse $y$ verticale rivolto verso l'alto. In questo sistema i punti significativi della traiettoria hanno coordinate: $P(0, 0)$, il colmo del muro $M(d, m-h)$, il punto di caduta $C(s, -h)$.
A questo punto ho cercato l'equazione di una parabola ad asse verticale per $P, M, C$. Poiché la parabola passa per $P$ che è nell'origine, l'equazione è del tipo $y = a*x^2 + b*x$. Per determinare i valori di $a$ e $b$, imponendo il passaggio per $M$ e $C$, si ottiene il sistema di due equazioni nelle due incognite $a$ e $b$:
$\{(-h = a * s^2 + b * s),(m - h = a * d^2 + b * d):}$.
Le soluzioni sono $\{(a = -(d * h + s *(m-h))/(d*s*(s-d))), (b = (d^2 * h + s^2 *(m-h))/(d*s*(s-d))):}$.
Per quanto riguarda l'inclinazione, $theta$, sull'asse $x$ della velocità iniziale $v_0$, è quella della retta tangente alla traiettoria nel punto $P$, il cui coefficiente angolare coincide con la derivata della funzione nell'origine. Ora $y'(x) = 2 * a * x + b$ e quindi $tang(theta) = y'(0) = 2 * a * 0 + b = b = (d^2 * h + s^2 *(m-h))/(d*s*(s-d))$.
Per quello che riguarda il modulo della velocità iniziale $v_0$, lo si può ricavare dalle equazioni del moto dell'oggetto sui due assi: $\{(x(t) = v_0 * cos(theta) * t), (y(t) = v_0 * sen(theta) * t - 1/2 * g * t^2):}$.
Se si ricava $t$ dalla prima, lo si sostituisce nella seconda e si impone il passaggio per $C(s, -h)$ si ha l'equazione
$-h = v_0 * sen(theta) * s/(v_0 * cos(theta)) - 1/2 * g * (s/(v_0 * cos(theta)))^2$,
che diventa
$-h = s * tang(theta) - 1/2 * g * (s^2 /(v_0^2 * cos^2(theta)))$.
Tenendo conto che $cos^2(theta) = 1/(1 + tang^2(theta))$ (dove si è già trovato che $tang(theta) = b$), l'equazione è nella sola incognita $v_0$.
La soluzione è $v_0 = sqrt((g * s^2 * (1 + tang^2(theta)))/(2 * (s * tang(theta) + h)))$, dove $tang(theta) = (d^2 * h + s^2 * (m - h))/(d * s * (s - d))$.
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