Problema Equazione cartesiana
Posto il titolo del quesito :
Determina l'equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle iperboli dei fasci di cui è data l'equazione
Premetto che ho provato a farlo ma non mi riesce, ed essendo un argomento che non ho ben compreso, speravo che qualcuno me lo risolvesse passo passo in modo da capire come svolgere questa classe di esercizi
$ y=(2x-k)/(x+k-2) $
Determina l'equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle iperboli dei fasci di cui è data l'equazione
Premetto che ho provato a farlo ma non mi riesce, ed essendo un argomento che non ho ben compreso, speravo che qualcuno me lo risolvesse passo passo in modo da capire come svolgere questa classe di esercizi
$ y=(2x-k)/(x+k-2) $
Risposte
Ciao,
la questione dei luoghi geometrici non è complessa, una volta capita bene.
Dunque: tu sai che, data un'iperbole del tipo \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\] il suo centro è $C(-d/c, a/c)$. Bene, individuiamo il centro dell'iperbole che hai postato. Viene \[C\left(2-k, 2\right)\] Allora possiamo scrivere \[\begin{cases}x=2-k \\ y=2\end{cases}\] A questo punto il procedimento generico sarebbe quello di isolare il parametro (cioè $k$) in una delle due equazioni e sostituirlo nell'altra. Vedi però che se lo isoli nella prima e provi a sostituirlo nella seconda... non ce la fai! Questo perché la seconda non dipende da $k$. Infatti essa stessa è già la descrizione del luogo: qualunque $k$ tu scelga, l'ordinata è sempre $2$, quindi puoi concludere che l'equazione del luogo è $$y=2$$
Supponiamo ora che il centro venisse tale che \[\begin{cases}x=2-k \\ y=2k\end{cases}\] In questo caso avresti potuto ricavare \[k=2-x\] dalla prima e sostituirlo nella seconda. Avresti ottenuto \[y = 4-2x\] e questa sarebbe stata la tua equazione.
Facci sapere se hai altri dubbi.
la questione dei luoghi geometrici non è complessa, una volta capita bene.
Dunque: tu sai che, data un'iperbole del tipo \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\] il suo centro è $C(-d/c, a/c)$. Bene, individuiamo il centro dell'iperbole che hai postato. Viene \[C\left(2-k, 2\right)\] Allora possiamo scrivere \[\begin{cases}x=2-k \\ y=2\end{cases}\] A questo punto il procedimento generico sarebbe quello di isolare il parametro (cioè $k$) in una delle due equazioni e sostituirlo nell'altra. Vedi però che se lo isoli nella prima e provi a sostituirlo nella seconda... non ce la fai! Questo perché la seconda non dipende da $k$. Infatti essa stessa è già la descrizione del luogo: qualunque $k$ tu scelga, l'ordinata è sempre $2$, quindi puoi concludere che l'equazione del luogo è $$y=2$$
Supponiamo ora che il centro venisse tale che \[\begin{cases}x=2-k \\ y=2k\end{cases}\] In questo caso avresti potuto ricavare \[k=2-x\] dalla prima e sostituirlo nella seconda. Avresti ottenuto \[y = 4-2x\] e questa sarebbe stata la tua equazione.
Facci sapere se hai altri dubbi.
A vedere ciò che hai scritto mi sento un pollo 
Chiarissimo, grazie mille
Chiarissimo, grazie mille
mi intrometto perchè andiamo io e matteo nella stessa classe, l'unica cosa che non è chiara è la soluzione del libro. mi spiego meglio, la soluzione oltre a essere y=2 contiene una condizione del tipo x diverso da 2/3
questa condizione da dove è stata tirata?
grazie mille per l'aiuto
questa condizione da dove è stata tirata?
grazie mille per l'aiuto
Ciao,
sì in effetti qui la questione si fa un po'... tricky!
Si può dimostrare che una relazione del tipo \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\] rappresenta un'iperbole (omografica) se e solo se valgono due condizioni:
1. $c != 0$
2. $ad != bc$
Il motivo per cui debba valere la prima è ovvio: se $c=0$ allora quella non è più un'iperbole ma una semplice retta (verrebbe a mancare la $x$ al denominatore).
Il motivo per cui anche la seconda debba valere è invece un po' meno intuitivo: si può dimostrare che se $ad=bc$ allora esiste una proporzionalità tra il numeratore e il denominatore. Questo significa che si può semplificare e ottenere una forma del tipo $y="costante"$, che ovviamente rappresenta una retta.
Nel nostro caso vale $c=1$, quindi la prima condizione è automaticamente soddisfatta. Imponiamo poi che sia $ad != bc$.
Risolviamo l'uguaglianza: \[ad = bc \quad\Rightarrow\quad 2k-4=-k \quad\Rightarrow\quad k=\frac{4}{3}\] Se ora sostituiamo troviamo che il denominatore diventa \[x-\frac{2}{3}\] Imponendo che questo non sia nullo otteniamo la condizione riportata dal libro.
Verifichiamo ora cosa succede in corrispondenda di $x=2/3$: sostituiamo nella relazione di partenza e abbiamo \[y=\frac{\frac{4}{3}-k}{-\frac{4}{3}+k} = -1\] Cioè esattamente quello di cui parlavamo prima.
sì in effetti qui la questione si fa un po'... tricky!
Si può dimostrare che una relazione del tipo \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\] rappresenta un'iperbole (omografica) se e solo se valgono due condizioni:
1. $c != 0$
2. $ad != bc$
Il motivo per cui debba valere la prima è ovvio: se $c=0$ allora quella non è più un'iperbole ma una semplice retta (verrebbe a mancare la $x$ al denominatore).
Il motivo per cui anche la seconda debba valere è invece un po' meno intuitivo: si può dimostrare che se $ad=bc$ allora esiste una proporzionalità tra il numeratore e il denominatore. Questo significa che si può semplificare e ottenere una forma del tipo $y="costante"$, che ovviamente rappresenta una retta.
Nel nostro caso vale $c=1$, quindi la prima condizione è automaticamente soddisfatta. Imponiamo poi che sia $ad != bc$.
Risolviamo l'uguaglianza: \[ad = bc \quad\Rightarrow\quad 2k-4=-k \quad\Rightarrow\quad k=\frac{4}{3}\] Se ora sostituiamo troviamo che il denominatore diventa \[x-\frac{2}{3}\] Imponendo che questo non sia nullo otteniamo la condizione riportata dal libro.
Verifichiamo ora cosa succede in corrispondenda di $x=2/3$: sostituiamo nella relazione di partenza e abbiamo \[y=\frac{\frac{4}{3}-k}{-\frac{4}{3}+k} = -1\] Cioè esattamente quello di cui parlavamo prima.
ora è tutto più chiaro 
grazie mille!
grazie mille!
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