Problema ellisse...

[toonamix]

Data l'ellisse di equazione 5x^2+3x^2=32 scrivi le equazioni delle rette a essa tangente nei suoi punti di ascissa 1 e -2 e ordinata positiva; calcola poi le coordinate del loro punto di intersezione...


Mi dite come si fa non ne ho idea...


grazie

PS quale è la definizione analitica di ellisse?????????

[elgiovo]

Calcola l'ordinata corrispondente sull'ellisse ai punti di ascissa $1$ e $-2$: con un facile conto si trovano $3$ e $2$.
Allora si possono scrivere i sistemi

${(y-3=m(x-1)),(5x^2+3y^2=32):}$ e ${(y-2=m(x+2)),(5x^2+3y^2=32):}$

Nel primo sistema, ad esempio, si può ricavare $y$ dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda:

$5x^2+3[m(x-1)+3]^2=32$, ovvero $3 m^2 x^2 + 5 x^2 - 6 m^2 x + 18 m x + 3 m^2 - 18 m - 5=0$,
che è un'equazione di secondo grado in $x$. Perchè la retta sia tangente, il discriminante del polinomio
deve annullarsi. Da ciò si ricava l'equazione in $m$: $81m^2+90m+25=0$, che restituisce $m=-5/9$.
Il coefficiente angolare dell'altra retta tangente si trova in modo analogo. Infine le coordinate del punto
di intersezione si trovano mettendo a sistema le due rette.

[Andrea902]

Oppure, in alternativa al metodo proposto da elgiovo, si potrebbe applicare la Formula di Sdoppiamento che semplifica notevolmente i calcoli...

[Paolo902]

"Andrea90":Oppure, in alternativa al metodo proposto da elgiovo, si potrebbe applicare la Formula di Sdoppiamento che semplifica notevolmente i calcoli...

anch'io ho subito pensato allo sdoppiamento... è più veloce.. comunque il metodo di Elgiovo è - ovviamente - corretto...

Riporto qui di seguito la formula dello sdoppiamento per un'ellisse: data un'ellisse di equazione $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, considerando un suo punto generico $P(x_0,y_0)$ le rette tangenti in quel punto hanno equazione:

$(x*x_0)/a^2+(yy_0)/b^2=1$

Ovviamente occhio ai casi particolari (magari una tangente potrebbe essere parallela all'asse $y$ e quindi il suo coefficiente angolare sarebbe..... )

Un saluto,

Paolo

[laura.todisco]

In realtà tale formula restituisce la polare di P rispetto alla conica; se P appartiene alla curva, la polare coincide con "la" tangente alla curva in tale punto. Ma ci sono altri due casi, a seconda che il punto P sia interno o esterno alla curva, ma qui non interessano.

[Paolo902]

"laura.todisco":In realtà tale formula restituisce la polare di P rispetto alla conica; se P appartiene alla curva, la polare coincide con "la" tangente alla curva in tale punto.

Già, hai ragione. Grazie Laura per la precisazione.

Paolo

[franced]

...Data l'ellisse di equazione 5x^2+3y^2=32 scrivi le equazioni delle rette a essa tangente nei suoi punti di ascissa 1 e -2 e ordinata positiva; calcola poi le coordinate del loro punto di intersezione...


Puoi seguire questa strada, secondo me elegante.

Trasformi con un'affinità la tua ellisse nel cerchio unitario, lì ti calcoli le rette tangenti nei punti trasformati e poi fai la trasformazione
inversa, ottenendo le due rette tangenti.

Considera che il procedimento è corretto in quanto rette tangenti vengono trasformate in rette tangenti.

Francesco Daddi

[mart10]

In che classe sei toonamix?

Comunque secondo me la strada più semplice è l'applicazione della formula di sdoppiamento.
Non ho capito bene il metodo di risoluzione di franced....

[franced]

"mart":In che classe sei toonamix?

Comunque secondo me la strada più semplice è l'applicazione della formula di sdoppiamento.
Non ho capito bene il metodo di risoluzione di franced....

Il mio metodo è applicabile in tantissimi casi;
un'ellisse non è altro che una circonferenza vista da un altro sistema di assi cartesiani..