Problema ellisse
Un castello è circondato da un fossato di forma ellittica, la cui larghezza è 10m. Un drappello di spie cerca di infiltrarsi attraversando a nuoto il fossato. Le spie decidono di attraversarlo dal punto $P(32;-30)$, nella direzione che consente il tragitto a nuoto più breve.
Le ellissi che delimitano il fossato hanno equazione $x^2/1600 + y^2/2500 = 1$ (quella esterna) e $ x^2/900 + y^2/1600 = 1$ (quella interna).
Il punto $P$ è soluzione dell'equazione dell'ellisse più esterna.
Scrivi l'equazione della retta che dà la direzione in cui nuotano le spie.
Il problema in origine non era proprio così; l'ho modificato un po' perché non capisco proprio come determinare l'equazione della retta. So che passa per $P$, ma non so che altra condizione possa mettere per ottenerla.
Le ellissi che delimitano il fossato hanno equazione $x^2/1600 + y^2/2500 = 1$ (quella esterna) e $ x^2/900 + y^2/1600 = 1$ (quella interna).
Il punto $P$ è soluzione dell'equazione dell'ellisse più esterna.
Scrivi l'equazione della retta che dà la direzione in cui nuotano le spie.
Il problema in origine non era proprio così; l'ho modificato un po' perché non capisco proprio come determinare l'equazione della retta. So che passa per $P$, ma non so che altra condizione possa mettere per ottenerla.
Risposte
Non sarebbe meglio aiutarti sul problema originario?
Il fatto è che il problema originario ha un'illustrazione che ti aiuta a capire quali debbano essere le equazioni delle ellissi. Quindi ho inserito tutto quello che serve per poter determinare unicamente il quesito che mi interessa.
Cos’è che non i permette di andare avanti?
In realtà non c’è nemmeno bisogno della prima ellissi, hai un punto e devi determinare il punto che ha minima distanza dall’altra ellissi, almeno da quello che ho capito.
In realtà non c’è nemmeno bisogno della prima ellissi, hai un punto e devi determinare il punto che ha minima distanza dall’altra ellissi, almeno da quello che ho capito.
Esattamente. Quello che nn ho capito è proprio come determinarlo...
Vediamo se questa soluzione ti può piacere. Suppongo che farai fisica, perchè le uniche cose che serviranno in quanto segue sono: sapere cosa è un vettore, saper calcolare il modulo di un vettore, saper derivare.
un punto di quella ellisse può essere scritto come $P(theta)=(30costheta,40sintheta)$ e l'altro punto è $Q(32,-30)$ quindi il vettore che li congiungerà sarà il vettore
il modulo di questo vettore rappresenta la distanza tra i due punti, giusto? quindi consideriamo la funzione
ora siano $f:A->RR$ e $g:B->RR$ tali che $f(A) subseteqB$ allora è ben definita $gcircf:A->B->RR$
supponiamo che $g$ sia crescente e $f$ abbia $x_0$ come punto di minimo, allora è anche un punto di minimo di $gcircf$ ed è facile da dimostrare, basta considerare che:
in questo caso la radice è una funzione crescente pertanto basta trovare quel $theta_0 in [0,2pi]$ che minimizza la funzione
potresti minimizzare questa funzione e trovare il $theta_0$ che la minimizza.
Altrimenti puoi usare il solito modo:
- isoli $y$ e trovi due funzioni che dipendono da $x$
- i punti $(x,pmy(x))$ danno i punti dell'ellisse
- calcoli la distanza tra i punti $(x,pmy(x))$ e $(32,-30)$ ottenendo una $f(x)$
- le minimizzi entrambe e vedi qual è il 'minimo minore'
un punto di quella ellisse può essere scritto come $P(theta)=(30costheta,40sintheta)$ e l'altro punto è $Q(32,-30)$ quindi il vettore che li congiungerà sarà il vettore
$v(theta)=(30costheta-32,40sintheta+30)$
il modulo di questo vettore rappresenta la distanza tra i due punti, giusto? quindi consideriamo la funzione
$f(theta)=||v(theta)||=sqrt((30costheta-32)^2+(40sintheta+30)^2)$
ora siano $f:A->RR$ e $g:B->RR$ tali che $f(A) subseteqB$ allora è ben definita $gcircf:A->B->RR$
supponiamo che $g$ sia crescente e $f$ abbia $x_0$ come punto di minimo, allora è anche un punto di minimo di $gcircf$ ed è facile da dimostrare, basta considerare che:
$forallx in A, f(x)geqf(x_0)$ da cui per monotonia $g(f(x))geqg(f(x_0))$
in questo caso la radice è una funzione crescente pertanto basta trovare quel $theta_0 in [0,2pi]$ che minimizza la funzione
$g(theta)=(30costheta-32)^2+(40sintheta+30)^2$
potresti minimizzare questa funzione e trovare il $theta_0$ che la minimizza.
Altrimenti puoi usare il solito modo:
- isoli $y$ e trovi due funzioni che dipendono da $x$
- i punti $(x,pmy(x))$ danno i punti dell'ellisse
- calcoli la distanza tra i punti $(x,pmy(x))$ e $(32,-30)$ ottenendo una $f(x)$
- le minimizzi entrambe e vedi qual è il 'minimo minore'
Però mi pare di aver capito che non ha ancora studiato trigonometria ... 
Non so a che anno sia
Ti ringrazio molto per la spiegazione, ma le mie competenze matematiche si riducono alla terza superiore per ora. Non so nulla né di fisica, né di trigonometria, né di analisi. Prometto che rimedierò in tempi relativamente brevi però 
Ma no, tranquillo. Anto_zoolander ti faceva un po' più grande.
A dire la verità ho 23 anni. Quando parlavo di 'competenze da terza superiore' mi riferivo al fatto che sto studiando su un libro di terza superiore.
Ma loro non lo sanno, non ti seguono così fedelmente …
"HowardRoark":
Un castello è circondato da un fossato di forma ellittica, la cui larghezza è 10m.
Mi pare che questa frase descriva qualcosa difficilmente rappresentabile geometricamente.
Se le sponde del fossato sono due circonferenze concentriche i cui raggi differiscono di 10m, abbiamo un fossato circolare di larghezza 10m. Se, invece, una delle sponde è un'ellisse allora: o l'altra sponda non è un'ellisse, o la larghezza (intesa come lunghezza del segmento che congiunge un punto su una sponda al punto più vicino posto sull'altra) non è costante.
Condivido quindi la richiesta di anto: [highlight]sarebbe meglio conoscere il testo originale del problema[/highlight].
Comunque, se le equazioni delle ellissi e le coordinate del punto $ P $ sono quelle riportate, si può, con conoscenze di una terza superiore, trovare il punto $ Q $ dell'altra sponda tale che $ P $ sia il punto dell'ellisse esterna che ha minima distanza (minore di 10m) da $ Q $, anche utilizzando una costruzione con riga e compasso. Purtroppo esistono, quasi sempre, punti dell'ellisse interna che distano da $ P $ meno di $ \overline {PQ} $, e non riesco a trovare quello con la minima distanza senza utilizzare le derivate o approssimazioni con metodi di calcolo numerico.
Ciao
"orsoulx":
[quote="HowardRoark"]Un castello è circondato da un fossato di forma ellittica, la cui larghezza è 10m.
Mi pare che questa frase descriva qualcosa difficilmente rappresentabile geometricamente.
Se le sponde del fossato sono due circonferenze concentriche i cui raggi differiscono di 10m, abbiamo un fossato circolare di larghezza 10m. Se, invece, una delle sponde è un'ellisse allora: o l'altra sponda non è un'ellisse, o la larghezza (intesa come lunghezza del segmento che congiunge un punto su una sponda al punto più vicino posto sull'altra) non è costante.
Condivido quindi la richiesta di anto: [highlight]sarebbe meglio conoscere il testo originale del problema[/highlight].
Comunque, se le equazioni delle ellissi e le coordinate del punto $ P $ sono quelle riportate, si può, con conoscenze di una terza superiore, trovare il punto $ Q $ dell'altra sponda tale che $ P $ sia il punto dell'ellisse esterna che ha minima distanza (minore di 10m) da $ Q $, anche utilizzando una costruzione con riga e compasso. Purtroppo esistono, quasi sempre, punti dell'ellisse interna che distano da $ P $ meno di $ \overline {PQ} $, e non riesco a trovare quello con la minima distanza senza utilizzare le derivate o approssimazioni con metodi di calcolo numerico.
Ciao[/quote]
Il testo che ho riportato è praticamente identico a quello originale; l'unica cosa che cambia è il fatto che nel testo originale dovessi determinare anche le equazioni delle ellissi che delimitano il fossato.
Per risponderti sul fatto che la larghezza fra le due ellissi non è costante: l'illustrazione del mio libro riporta il punto $(32;0)$ all'interno di entrambe le ellissi. Però ho rappresentato le equazioni anche online, e lì risulta che $(32;0)$ giaccia fra le due ellissi, come mi aspettavo, anziché essere collocato al loro interno. Questo è ovvio: basta considerare le misure di $a$ di entrambe le ellissi per capire che deve essere così. Tu probabilmente, quando scrivi che la larghezza non può essere costante, ti riferisci al fatto che non lo sia per ogni coppia di punti appartenenti alle due ellissi tali che il segmento che li congiunge sia il più corto possibile, tranne che per i segmenti che congiungono $(a_1;0)$ e $(a_2;0)$, $(0;b_1)$ e $(0; b_2)$, dove $a_1$, $a_2$, $b_1$ e $b_2$ sono rispettivamente le ascisse e le ordinate dei vertici delle due ellissi.
Comunque sia, una cosa è certa: l'illustrazione del mio libro è sbagliata, perché il punto $(32;0)$ è mal rappresentato.
"HowardRoark":
Tu probabilmente, quando scrivi che la larghezza non può essere costante...
Direi proprio di sì. La larghezza in un punto assegnato su una sponda dovrebbe essere la minima distanza (euclidea) di quel punto da un punto della sponda opposta e, come dici, questa distanza misura 10m solo nei vertici delle due ellissi; per tutti gli altri punti risulta minore. Ad esempio il punto $ P(32,-30) $ dista $10 m $ da due punti che si trovano sulla sponda opposta (uno di questi è $ P'(24;-24) $, l'altro non ho voglia di calcolarlo), ma tutti i punti dell'arco (minore) compreso fra questi sono sicuramente più vicini a $ P $. Le differenze non sono elevate (inferiori all' $ 1 % $), ma tant'è: la matematica esige un po' di precisione.
In merito alla posizione del signor $ (32; 0) $ hai ragione, ma non ne capisco l'importanza, visto che continui a non volerci mostrare il testo del problema.
Ciao
Allora scrivo il testo integrale:
Un castello è circondato da un fossato di forma ellittica, la cui larghezza è 10m. Un drappello di spie proveniente dalla foresta cerca di infiltrarsi attraversando a nuoto il fossato. Le spie decidono di attraversarlo dal punto $(32;-30)$, nella direzione che consente il tragitto a nuoto più breve.
a) nel sistema di assi cartesiani, con unità di misura 1m, scrivi le equazioni delle due ellissi che delimitano il fossato (queste equazioni si determinano con l'illustrazione e sono quelle che ho riportato).
b) scrivi l'equazione della retta che dà la direzione in cui nuotano le spie.
Un castello è circondato da un fossato di forma ellittica, la cui larghezza è 10m. Un drappello di spie proveniente dalla foresta cerca di infiltrarsi attraversando a nuoto il fossato. Le spie decidono di attraversarlo dal punto $(32;-30)$, nella direzione che consente il tragitto a nuoto più breve.
a) nel sistema di assi cartesiani, con unità di misura 1m, scrivi le equazioni delle due ellissi che delimitano il fossato (queste equazioni si determinano con l'illustrazione e sono quelle che ho riportato).
b) scrivi l'equazione della retta che dà la direzione in cui nuotano le spie.
"orsoulx":
... Ad esempio il punto $ P(32,-30) $ dista $10 m $ da due punti che si trovano sulla sponda opposta (uno di questi è $ P'(24;-24) $, l'altro non ho voglia di calcolarlo), ...
L'altro è $P''(22.9228;-25.8042)$
Congiungendo il punto medio tra i due $M(23.4614;-24.9091)$ e $P$ dovrei trovare la retta cercata (che sarebbe $y=-0.59704x-10.8947$) la quale interseca l'ellisse interna in $R(23.472;-24.9091)$ e la distanza $PR$ allora è $9.930941$.
Cordialmente, Alex
Adesso ci siamo.
Non so chi abbia formulato il problema, ma son convinto che si sia lasciato ingannare dal disegno.
Come già detto il concetto di fossato di forma ellittica di larghezza assegnata non è molto 'matematico'.
E, credo, che anche la domanda (b) avrà una risposta criticabile. Risposta che puoi calcolare da solo sapendo che la tangente ad un'ellisse in un suo punto è una delle bisettrici delle rette che congiungono il punto in questione con i due fuochi. Dovresti trovare per $ P $ una retta di coefficiente angolare $ m=5/3 $; sull'altra bisettrice (perpendicolare alla precedente) si trovano tutti i punti tali che $ P $ è punto dell'ellisse grande alla minima distanza da ciascuno di essi.
Fra questi c'è anche il punto $ Q $ dell'ellisse interna che, secondo l'autore del problema, è alla minima distanza da $ P $.
Ovviamente io non sono di questo avviso.
Ciao
Non so chi abbia formulato il problema, ma son convinto che si sia lasciato ingannare dal disegno.
Come già detto il concetto di fossato di forma ellittica di larghezza assegnata non è molto 'matematico'.
E, credo, che anche la domanda (b) avrà una risposta criticabile. Risposta che puoi calcolare da solo sapendo che la tangente ad un'ellisse in un suo punto è una delle bisettrici delle rette che congiungono il punto in questione con i due fuochi. Dovresti trovare per $ P $ una retta di coefficiente angolare $ m=5/3 $; sull'altra bisettrice (perpendicolare alla precedente) si trovano tutti i punti tali che $ P $ è punto dell'ellisse grande alla minima distanza da ciascuno di essi.
Fra questi c'è anche il punto $ Q $ dell'ellisse interna che, secondo l'autore del problema, è alla minima distanza da $ P $.
Ovviamente io non sono di questo avviso.
Ciao
@Alex:
Sei peggio dell'autore del problema.
Ciao
Sei peggio dell'autore del problema.
Ciao
Ma dai, non posso divertirmi cinque minuti … 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@Alex:
[ot]Mi diverto (senza usare emoticon) anch'io.[/ot]
Ciao
[ot]Mi diverto (senza usare emoticon) anch'io.[/ot]
Ciao
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