Problema elementare di geometria

[wedge]

chiedo vergognosamente aiuto per un problema di geometria elementare
[img=http://img390.imageshack.us/img390/5771/georw5.th.jpg]

trovare la lunghezza di AB, dati $theta$, R e d

io direi

$AB = 2R cos (theta)$

dal teorema dei seni $sin(alpha) = (d+R)/R sin(theta) $
$sin(beta)=sin(alpha)$ quindi $beta=arcsin ((d+R)/R sin(theta) )$
e in definitiva
$AB = 2R arcsin ((d+R)/R sin(theta) )$

vedete un modo di semplificare questa formula? (magari con teoremi sulle corde che sicuramente non ricordo?)

PS tra l'altro ho seri dubbi sul fatto che l'argomento dell'ultimo arcsin potrebbe risultare maggiore di 1 (per angoli grandi con d piccolo), e quindi che qualcosa possa essere sbagliato...


grazie mille!

[Steven11]

"wedge":
vedete un modo di semplificare questa formula? (magari con teoremi sulle corde che sicuramente non ricordo?)
grazie mille!

Il teorema delle secanti ti dice che
$frac{bar{AB}+bar{AS}}{d+2R}=frac{d}{bar{AS}}$

Vedi un attimo se può esserti d'aiuto, ora devo scappare.
Ciao

[G.D.5]

Lascio questa mia soluzione



Da $O$ si manda la perpendicolare ad $AB$: com'è noto, in ogni circonferenza l'asse di una corda passa per il centro della circonferenza, dunque $AB=AH+BH=2AH=2BH=x$, da cui $AH=BH=\frac{x}{2}$.
Nel triangolo rettangolo $HOS$ si ha:
$HO=OS*cos(\theta)=(CO+CS)*cos(\theta)=(r+d)*cos(\theta)$.
Per Pitagora nel triangolo rettangolo $AHO$ si ha:
$AO^2=AH^2+HO^2 => r^2=(\frac{x}{2})^2+(r+d)^2*cos^2(\theta) => x=2\sqrt{r^2 - (r+d)^2*cos^2(\theta)}$.

P.S.
Il tutto salvo errori.