Problema distanza
Il professore oggi ci ha detto di risolvere un problema:
immaginiamo che c'è un uomo in mare, sale su la parte piu in alto di una nave e erca di vedere all' orizzonte.
Fino a che distanza riesce a vedere? (condizioni atmosferiche normali, vista normale ecc..)
Io ho provato a fare questo:
DATI:
h (altezza) o quota : 10 m
Raggi: 6378.388 km all'Equatore
6355.988 km ai Poli
6372.795 km in media quadratica
Il sistema
y = k*(x - a)
(x^2 + y^2 = 1)
x^2 + (k*(x - a))^2 - 1 = 0
Δ(k) = - 4*((a^2 - 1)*k^2 - 1)
che, per la tangenza, deve annullarsi. Δ(k) = 0
k = ± 1/√(a^2 - 1) = ± 1/√(h*(h + 2))
Le due tangenti sono
y = ± (x - a)/√(a^2 - 1) = ± (x - (1 + h))/√(h*(h + 2))
da cui i due punti T di tangenza
y = - (x - a)/√(a^2 - 1)) e x^2 + y^2 = 1) ==> T1(1/a, (a - 1/a)/√(a^2 - 1))
y = + (x - a)/√(a^2 - 1)) e (x^2 + y^2 = 1) ==> T2(1/a, (1/a - a)/√(a^2 - 1))
d = 6372795*√((1 + q/6372795)^2 - 1)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%2810*n%2CN%5B%E2%88%9A%28%28%281%2B10*n%2F6372795%29%5E2-1%29%29*6372795%2C6%5D%29%2C%7Bn%2C1%2C11%7D%5D
-Questo esercizio non l' ho fatto da solo ma con l' aiuto di mio cugino (che per una serie di motivi non puo venire) e volevo chiedere come ha fatto ad arrivare all' ultima formula finale?
- Questa formula (x^2 + y^2 = 1) si usa per misurare il raggio mentre questa y = k*(x - a) a cosa equivale?
Spero non ci siano errori e che abbiate compreso.
Non mi sembra di aver violato il regolamento quindi grazie per chi mi aiuta
immaginiamo che c'è un uomo in mare, sale su la parte piu in alto di una nave e erca di vedere all' orizzonte.
Fino a che distanza riesce a vedere? (condizioni atmosferiche normali, vista normale ecc..)
Io ho provato a fare questo:
DATI:
h (altezza) o quota : 10 m
Raggi: 6378.388 km all'Equatore
6355.988 km ai Poli
6372.795 km in media quadratica
Il sistema
y = k*(x - a)
(x^2 + y^2 = 1)
x^2 + (k*(x - a))^2 - 1 = 0
Δ(k) = - 4*((a^2 - 1)*k^2 - 1)
che, per la tangenza, deve annullarsi. Δ(k) = 0
k = ± 1/√(a^2 - 1) = ± 1/√(h*(h + 2))
Le due tangenti sono
y = ± (x - a)/√(a^2 - 1) = ± (x - (1 + h))/√(h*(h + 2))
da cui i due punti T di tangenza
y = - (x - a)/√(a^2 - 1)) e x^2 + y^2 = 1) ==> T1(1/a, (a - 1/a)/√(a^2 - 1))
y = + (x - a)/√(a^2 - 1)) e (x^2 + y^2 = 1) ==> T2(1/a, (1/a - a)/√(a^2 - 1))
d = 6372795*√((1 + q/6372795)^2 - 1)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%2810*n%2CN%5B%E2%88%9A%28%28%281%2B10*n%2F6372795%29%5E2-1%29%29*6372795%2C6%5D%29%2C%7Bn%2C1%2C11%7D%5D
-Questo esercizio non l' ho fatto da solo ma con l' aiuto di mio cugino (che per una serie di motivi non puo venire) e volevo chiedere come ha fatto ad arrivare all' ultima formula finale?
- Questa formula (x^2 + y^2 = 1) si usa per misurare il raggio mentre questa y = k*(x - a) a cosa equivale?
Spero non ci siano errori e che abbiate compreso.
Non mi sembra di aver violato il regolamento quindi grazie per chi mi aiuta
Risposte
La formula $x^2+y^2=1$ indica una circonferenza di raggio 1 e andrebbe bene se si assumesse come unità di misura il raggio della Terra ma è assurdo farlo; egualmente assurdo è scomodare l'analitica per un problema così semplice.
Indico con O il centro della Terra, con A il punto da cui si guarda e con T il punto di tangenza, con $r$ il raggio della Terra arrotondato. I dati sono
$r= 6370 km$
$h=10 m=0,01 km$
e si ha $OA=r+h, OT=r$. La distanza fino a cui si vede è AT e poiché il triangolo OAT è rettangolo si ha
$AT=sqrt(OA^2-OT^2)=sqrt((r+h)^2-r^2)=sqrt(2rh+h^2)=sqrt(2*6370*0,01+0,01^2)=11,3 km$
Indico con O il centro della Terra, con A il punto da cui si guarda e con T il punto di tangenza, con $r$ il raggio della Terra arrotondato. I dati sono
$r= 6370 km$
$h=10 m=0,01 km$
e si ha $OA=r+h, OT=r$. La distanza fino a cui si vede è AT e poiché il triangolo OAT è rettangolo si ha
$AT=sqrt(OA^2-OT^2)=sqrt((r+h)^2-r^2)=sqrt(2rh+h^2)=sqrt(2*6370*0,01+0,01^2)=11,3 km$
E se volessi risolvere in modo analitico la distanza?
Del tipo io ho il centro della terra detto O, il punto A dove si guarda ,Il punto T è la tangenza.
Come faccio a calcolare la mezza corda?(CT) Cioè non si vuole trovare il cateto AT ma la distanza che percorre.
Grazie
Del tipo io ho il centro della terra detto O, il punto A dove si guarda ,Il punto T è la tangenza.
Come faccio a calcolare la mezza corda?(CT) Cioè non si vuole trovare il cateto AT ma la distanza che percorre.
Grazie
Stante l'enorme sproporzione fra $h$ ed $r$, sono quasi uguali fra loro: il segmento di tangente, la corda CT, l'arco CT e la semicorda TH (essendo H la proiezione di T su AO). Le piccolissime differenze fra loro sono abbondantemente superate dagli errori di arrotondamento che la calcolatrice farà e dal fatto che $h$ non può essere noto con precisione: basta che a guardare siano due persone di statura un po' diversa.
Ti do comunque le formule che, con altri dati, potremmo volere; pongo $alpha=A hatOT$. Dal triangolo AOT ricavo $cos alpha=r/(r+h)$ e quindi
$"arco " CT=r alpha=r arcccos(r/(r+h))$
$"corda " CT= 2r sin(alpha/2)=2rsqrt((1-cos alpha)/2)=2r*1/sqrt2*sqrt(1-r/(r+h))=r sqrt2 sqrt(h/(r+h))$
$ TH=rsin alpha=r sqrt (1-cos^2 alpha)= r sqrt(1-r^2/(r+h)^2)=(rsqrt(2rh+h^2))/(r+h)$
Infine, se proprio vuoi usare l'analitica, introducendo gli assi in modo che l'origine sia O ed il punto A sia sul semiasse y positivo, l'equazione delle circonferenza è
$x^2+y^2=r^2$
e si ha $A(0, r+h)$. Ho dato solo una rapida occhiata al tuo procedimento, ma mi sembra giusto.
Ti do comunque le formule che, con altri dati, potremmo volere; pongo $alpha=A hatOT$. Dal triangolo AOT ricavo $cos alpha=r/(r+h)$ e quindi
$"arco " CT=r alpha=r arcccos(r/(r+h))$
$"corda " CT= 2r sin(alpha/2)=2rsqrt((1-cos alpha)/2)=2r*1/sqrt2*sqrt(1-r/(r+h))=r sqrt2 sqrt(h/(r+h))$
$ TH=rsin alpha=r sqrt (1-cos^2 alpha)= r sqrt(1-r^2/(r+h)^2)=(rsqrt(2rh+h^2))/(r+h)$
Infine, se proprio vuoi usare l'analitica, introducendo gli assi in modo che l'origine sia O ed il punto A sia sul semiasse y positivo, l'equazione delle circonferenza è
$x^2+y^2=r^2$
e si ha $A(0, r+h)$. Ho dato solo una rapida occhiata al tuo procedimento, ma mi sembra giusto.
TH a cosa equivale?
"giammaria":
... la semicorda TH (essendo H la proiezione di T su AO)...
Non ho ben capito il passaggio 2rsin(α/2)=2r√((1-cosα)/2)
Come ha fatto α all' interno della paremtesi a doventare 1-cosα?
Scusate per la mia ignoranza.
Grazie
Come ha fatto α all' interno della paremtesi a doventare 1-cosα?
Scusate per la mia ignoranza.
Grazie
applicando la formula di bisezione del seno
Scusate ancora, ma il prof mi ha detto che non voleva l' esercizio come svolto sopra ma solo analiticamente.
Quindi dal primo post avevo scritto il metodo da fare ma non ho ancora capito la formula
y = k*(x - a)
e come ha fatto ha ricavare questa formula dal procedimento (in alto al 1 post)
d = 6372795*√((1 + q/6372795)^2 - 1)
Quindi dal primo post avevo scritto il metodo da fare ma non ho ancora capito la formula
y = k*(x - a)
e come ha fatto ha ricavare questa formula dal procedimento (in alto al 1 post)
d = 6372795*√((1 + q/6372795)^2 - 1)
Se vogliamo rifarci al tuo primo post, dobbiamo posizionare gli assi in modo che il punto di osservazione sia sul semiasse $x$ positivo e l'origine sia nel centro della Terra; in questo modo il punto di osservazione sarà $A(a,0)$ e la generica retta passante per esso è $y=m(x-a)$. Tu hai preferito usare $k$ al posto di $m$, e facciamo pure così; ragionando in metri, il raggio della Terra è $r=6372795$ e si ha $a=r+h$; io continuo usando sempre questo valore, ma se preferisci puoi usare $a$ per un certo tempo. L'equazione della circonferenza è
$x^2+y^2=r^2$
Mettendola a sistema con la retta, dall'annullarsi del discriminante si ottiene (scrivo solo qualche risultato intermedio)
$k=+-sqrt(r^2/(2rh+h^2))$
e ricaviamo i punti di tangenza
$T_(1,2){(x=r^2/(r+h)),(y=+-(r sqrt(2rh+h^2))/(r+h)):}$
e si ottiene
$AT_(1,2)=sqrt(2rh+h^2)$
che è il mio risultato.
$x^2+y^2=r^2$
Mettendola a sistema con la retta, dall'annullarsi del discriminante si ottiene (scrivo solo qualche risultato intermedio)
$k=+-sqrt(r^2/(2rh+h^2))$
e ricaviamo i punti di tangenza
$T_(1,2){(x=r^2/(r+h)),(y=+-(r sqrt(2rh+h^2))/(r+h)):}$
e si ottiene
$AT_(1,2)=sqrt(2rh+h^2)$
che è il mio risultato.
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