Problema disequazione fratta con radice cubica

[pier_IP]

Salve a tutti, sono uno studente di informatica e ahimè ho dei dubbi riguardanti le disequazioni.
Durante uno studio di funzione
$f(x) = 3/2x - root(3)( (9x^2 - 1) ) - 1 $
nello studio della monotonia mi sono imbattuto in questa disequazione

$( 3*root(3)( (9x^2 - 1)^2 ) - 12x) / ( 2*root(3)((9x^2 - 1)^2) ) >= 0 $

L'ho divisa in numeratore e denominatore

${ (3*root(3)( (9x^2 - 1)^2 ) - 12x >= 0), ( 2*root(3)((9x^2 - 1)^2) > 0 ) :}$

Tentando di risolvere il numeratore ho fatto questi passaggi

$ 3*root(3)( (9x^2 - 1)^2 ) - 12x >= 0 rArr$
$ rArr root(3)( (9x^2 - 1)^2 ) >= 4x rArr$
$ rArr (9x^2 - 1)^2 >= 64x^3 rArr$
$ rArr 81x^4 - 18x^2 + 1 - 64x^3 >= 0$

Sono leciti?

Ho provato a risolvere la disequazione di quarto grado, ma non ci riesco in maniera analitica...
Il metodo per risolvere le (dis)equazioni di grado superiore al secondo che uso e' :
"Prendere una frazione M/N dove M divide il termine noto ed N divide il coefficiente di grado massimo, provare a sostituire la frazione nella funzione di grado >2, con la frazione m/n che e' soluzione (se si riesce a trovare) dividere la funzione per (x - M/N)".

Visto che e' impossibile che in una traccia di uno studio di funzione capitano disequazioni di cui non si riesce a trovare la soluzione analiticamente, sicuramente devo aver sbagliato qualcosa io... ma cosa??

[@melia]

"pier_IP":devo aver sbagliato qualcosa io... ma cosa??

Hai sbagliato il calcolo della derivata (il denominatore non è alla seconda) e poi di conseguenza sbagli quando calcoli il denominatore comune.
Nonostante questo, quando i calcoli sono svolti correttamente viene lo stesso una disequazione "di cui non si riesce a trovare la soluzione analiticamente"

[pier_IP]

"@melia":
Hai sbagliato il calcolo della derivata (il denominatore non è alla seconda) e poi di conseguenza sbagli quando calcoli il denominatore comune.
Nonostante questo, quando i calcoli sono svolti correttamente viene lo stesso una disequazione "di cui non si riesce a trovare la soluzione analiticamente"

Errore mio, la traccia lo specificava e chiedeva uno studio qualitativo di quella disequazione.