Problema di trigonometria con risultato diverso a seconda dei procedimenti

[gio581]

Dato un triangolo rettangolo con altezza uguale a 50 e ipotenusa uguale a 51, con angolo opposto all'altezza pari a 80 gradi, determinare il valore della base.

Applicando il teorema di Pitagora:

$ b = sqrt(51^2 -50^2) = 10,04 $

Applicando, invece, il teorema sui triangoli rettangoli:

$ b = 51sin(10)= 51cos(80)= 8,85 $

Com'è possibile che i risultati siano diversi? E' colpa dell'arrotondamento/troncamento della calcolatrice?

Grazie a tutti per i chiarimenti!!

[Zero87]

Ciao gio e benvenuto al forum (vedo che è il tuo primo messaggio).

In realtà le colpe sono molteplici. Primo tra tutti è il testo perché i dati sono errati.

Analizziamo il punto:
- ipotenusa = 51
- altezza (cioè cateto maggiore) = 50
- angolo opposto all'altezza = 80 gradi.

Ora, per mio "vizio", diciamo che sono andato a controllare. Se usi la trigonometria, dovresti/potresti sapere che
$("altezza")/("ipotenusa")= "coseno dell'angolo tra l'altezza e l'ipotenusa"$.

Ora, $arccos(50/51)=11,3648...^o \ne 10^o$. Arrotondiamo a $11,36^o$ da cui si ottiene $78,64^o$ per l'angolo opposto all'altezza[nota]Non mi sono posto problemi nel calcolo dell'angolo con l'arcocoseno perché in questo caso non li sono. Quello che intendo io è, ad es., $arccos(1/2)=60^o$ ma anche $arccos(1/2)=300^o$.[/nota].

Se ora andiamo ad applicare la trigonometria, otteniamo
$51 sin(11,36^o)=10,045...$ che è molto simile a quello ottenuto sopra e il problema non si pone.

Conclusione: non so da dove hai preso l'es., ma come sempre sono dell'idea che i libri una cifra decimale in più potrebbero metterla invece di aver paura che uno studente possa subire un trauma nel vedere anche $11,4$ invece di un tondo $10$.

[gio581]

Sei stato chiaro, in verità il problema era di un mio amico ed era venuto anche a me il dubbio che ci fosse un errore nella traccia visto che mi aveva passato solo i dati (in realtà non ho letto personalmente il testo del problema).
Grazie mille!
Gio

[Zero87]

"gio58":ed era venuto anche a me il dubbio che ci fosse un errore nella traccia visto che mi aveva passato solo i dati

So che in genere i libri fanno fatica a mettere un dato "non tondo" per non dare quella paura del "ma riporta con la virgola!" che hanno molti studenti. Non bisognerebbe fare così anzi, non bisognerebbe proprio avere paura perché anche di fronte a un numero con $2,7182818$ invece di gettarsi nel panico bisogna pensare "e allora? è un numero e basta e per calcoli complicati c'è la calcolatrice!"
Secondo me è un peccato anche perché poi non ci si abitua mai e si pensa sempre cose del tipo "mi riporta qualcosa con la virgola (o una frazione), dov'è che ho sbagliato?".

Grazie mille!
Gio

Di nulla e, se "Gio" sta per "Giovanni", allora i saluti sono doppi da parte di un tuo omonimo.

[grimx]

Secondo me è un peccato anche perché poi non ci si abitua mai e si pensa sempre cose del tipo "mi riporta qualcosa con la virgola (o una frazione), dov'è che ho sbagliato?"

Non immagini quanto io sia daccordo con questa frase!